函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。

Ⅰ、再現(xiàn)性題組：

1. 方程lgx+x＝3的解所在的區(qū)間為_____。

A.　 (0,1)　　　 B.　 (1,2)　　 C.　 (2,3)　　 D.　 (3,+∞)

2. 如果函數(shù)f(x)＝x+bx+c對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，都有f(2+t)＝f(2－t)，那么_____。

A. f(2)<f(1)<f(4)　　 B. f(1)<f(2)<f(4)　 C. f(2)<f(4)<f(1)　 D. f(4)<f(2)<f(1)

3. 已知函數(shù)y＝f(x)有反函數(shù)，則方程f(x)＝a　 (a是常數(shù))　 ______。

A.有且僅有一個(gè)實(shí)根　 B.至多一個(gè)實(shí)根　　 C.至少一個(gè)實(shí)根　 D.不同于以上結(jié)論

4. 已知sinθ+cosθ＝，θ∈(，π)，則tgθ的值是_____。

A. －　　　　　　 B. －　　　　 C.　 　　　　D.　

5. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且S＝S　 (p≠q，p、q∈N)，則S＝_________。

6.關(guān)于x的方程sinx+cosx+a＝0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________。

7.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，則此棱錐的側(cè)面積為___________。

8. 建造一個(gè)容積為8m，深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價(jià)為___________。

Ⅱ、示范性題組：

例1. 設(shè)a>0，a≠1，試求方程log(x－ak)＝log(x－a)有實(shí)數(shù)解的k的范圍。(89年全國(guó)高考)

[解] 將原方程化為：log(x－ak)＝log，　 等價(jià)于 　(a>0,a≠1)

∴ k＝－　 ( ||>1 ),　

設(shè)＝cscθ，　 θ∈(－,0)∪(0, )，則 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|

當(dāng)θ∈(－,0)時(shí)，f(θ)＝cscθ+ctgθ＝ctg<－1，故k<－1；

當(dāng)θ∈(0,)時(shí)，f(θ)＝…

綜上，k的取值范圍是…

[注] 引入新的變量，而用函數(shù)值域加以分析，此法可解有關(guān)不等式、方程、最值、參數(shù)范圍之類問題。(分離參數(shù)法、三角換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想)

[另解] (數(shù)形結(jié)合法)：

[再解] (方程討論法)：

例2. 設(shè)不等式2x－1>m(x－1)對(duì)滿足|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍。

[分析] 此問題由于常見的思維定勢(shì)，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個(gè)角度以m為變量，記f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))f(m)的值在[-2,2]內(nèi)恒負(fù)時(shí)參數(shù)x應(yīng)滿足的條件。

[解] 設(shè)f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 則

解得x∈(,)

[注] 本題有別于關(guān)于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]時(shí)求m的值、關(guān)于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立時(shí)求m的范圍。

在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化。

例3. 設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)的和為S，已知a＝12，S>0，S<0 。

①.求公差d的取值范圍； ②.指出S、S、…、S中哪一個(gè)值最大，并說明理由。(92年全國(guó)高考)

[分析] ①問用a、S易求；②問利用S是n的二次函數(shù)而求什么時(shí)候取最大值。

[解]

[注] 數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題。

[另解②問](尋求a>0、a<0 )：

例4. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求異面直線PB和AC的距離。

[分析] 異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。

P 　　　　　 M A　　　　 H　　　　 B 　　　 D　　 C

[解] 在PB上任取一點(diǎn)M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，

設(shè)MH＝x，則MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。

∴MD＝x+[(2r－x)sinθ]＝(sin+1)x－4rsinθx+4rsinθ

＝(sinθ+1)[x－]+

即當(dāng)x＝時(shí)，MD取最小值為兩異面直線的距離。

[注] 求最大值、最小值的實(shí)際問題，將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言后，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識(shí)解答。(見再現(xiàn)性題組第8題)

例5. 已知△ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tgA.tgC＝2+，又知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于4,求△ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。

[解] 由A、B、C成等差數(shù)列，可得B＝60°；

由△ABC中tgA+tgB+tgC＝tgA.tgB.tgC，得tgA+tgC＝tgB(tgA.tgC－1)＝(1+)

設(shè)tgA、tgC是方程x－(+3)x+2+＝0的兩根，解得x＝1，x＝2+

設(shè)A<C，則tgA＝1，tgC＝2+，　 ∴A＝，C＝

…

例6. 若(z－x)?。?(x－y)(y－z)＝0,求證：x、y、z成等差數(shù)列。

[分析] 題設(shè)正好是判別式b－4ac＝0的形式，因此構(gòu)造一個(gè)一元二次方程求解。

[證明] 當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，可得x＝z，　 ∴x、y、z成等差數(shù)列；

當(dāng)x≠y時(shí)，設(shè)方程(x－y)t－(z－x)t+(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。

∴t.t＝＝1　 ，　 即2y＝x+z ，　　 ∴x、y、z成等差數(shù)列

[注] 題設(shè)條件具備或經(jīng)變形整理后具備x+x＝a、x.x＝b的形式，則利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程；具備b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可利用根的判別式構(gòu)造一元二次方程。

例7. △ABC中，求證：cosA.cosB.cosC≤　。

[證明] 設(shè)k＝cosA.cosB.cosC＝[cos(A+B)+cos(A－B)].cosC＝[－cosC+cos(A－B)]cosC

整理得：cosC－cos(A－B).cosC+2k＝0，即看作關(guān)于cosC的一元二次方程。

∴　 △＝cos(A－B)－8k≥0　 即 8k≤cos(A－B)≤1　 ∴ k≤即cosA.cosB.cosC≤

[注]既是方程思想，也屬判別式法。還可用放縮法：cosA.cosB.cosC＝…　 ＝

－cosC+cos(A－B).cosC＝－[cosC－]+cos(A－B)≤cos(A－B) ≤

例8. 設(shè)f(x)＝lg，如果當(dāng)x∈(-∞,1]時(shí)f(x)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

[解] 由題可知，不等式1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：()+()+a>0

設(shè)t＝(),　 則t≥，　 又設(shè)g(t)＝t+t+a，其對(duì)稱軸為t＝－

∴ t+t+a＝0在[,+∞)上無(wú)實(shí)根，　 即 g()＝()++a>0，得a>－

[注] 二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者是緊密聯(lián)系的。也可用分離參數(shù)法：

Ⅲ、鞏固性題組：

1. 方程sin2x＝sinx在區(qū)間(0,2π)內(nèi)解的個(gè)數(shù)是_____。

A.　 1　　　 B.　 2　　 C.　 3　　 D.　 4

2. 已知函數(shù)f(x)＝|2－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，則_____。

A. a<0,b<0,c>0　　 B. a<0,b>0,c>0　　 C. 2<2　　 D. 2+2<2

3. 已知函數(shù)f(x)＝log(x－4x+8)， x∈[0,2]的最大值為－2，則a＝_____。

A.　 　　　B.　 　　　C.　 2　　 D.　 4

4.已知{a}是等比數(shù)列，且a+a+a＝18，a+a+a＝－9，S＝a+a+…+a，那么S等于_____。

　 A.　 8　　　 B.　 16　　 　C.　 32　　　 D.　 48

5.等差數(shù)列{a}中，a＝84，前n項(xiàng)和為S,已知S>0，S<0，則當(dāng)n＝______時(shí)，S最大。

6. 對(duì)于滿足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)p，使不等式x+px〉4x+p－3成立的x的取值范圍是________。

7.若關(guān)于x的方程|x－6x+8|＝a恰有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________。

8.已知點(diǎn)A(0,1)、B(2,3)及拋物線y＝x+mx+2，若拋物線與線段AB相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

9.已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足等式x+y+z＝5和xy+yz+zx＝3,試求z的取值范圍。

10.已知lg－4.lg.lg＝0，求證：b是a、c的等比中項(xiàng)。

11.設(shè)α、β、γ均為銳角，且cosα+cosβ+cosγ+2cosα.cosβ.cosγ＝1，求證：α+β+γ＝π 。

12.當(dāng)p為何值時(shí)，曲線y＝2px (p>0)與橢圓(x―2―)+y＝1有四個(gè)交點(diǎn)。(88年全國(guó)高考)

13.已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x+ax+b＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β。證明：

①.如果|α|<2，|β|<2，那么2|a|<4+b且|b|<4；

②.如果2|a|<4+b且|b|<4，那么|α|<2，|β|<2 ?！?(93年全國(guó)理)

14.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(-∞,+∞)上以2為周期的函數(shù)，對(duì)k∈Z，用I表示區(qū)間(2k-1,2k+1]，已知當(dāng)x∈I時(shí)，f(x)＝x?！　?①.求f(x)在I上的解析表達(dá)式；　 ②.對(duì)自然數(shù)k，求集合M＝{a|使方程f(x)＝ax在I上有兩個(gè)不相等的實(shí)根}?！　?(89年全國(guó)理)