8. 建造一個容積為8m,深為2m的長方體無蓋水池,如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元,則水池的最低造價為___________。
Ⅱ、示范性題組:
例1. 設(shè)a>0,a≠1,試求方程log(x-ak)=log(x-a)有實數(shù)解的k的范圍。(89年全國高考)
[解] 將原方程化為:log(x-ak)=log, 等價于
(a>0,a≠1)
∴ k=- ( ||>1 ),
設(shè)=cscθ, θ∈(-,0)∪(0, ),則 k=f(θ)=cscθ-|ctgθ|
當(dāng)θ∈(-,0)時,f(θ)=cscθ+ctgθ=ctg<-1,故k<-1;
當(dāng)θ∈(0,)時,f(θ)=…
綜上,k的取值范圍是…
[注] 引入新的變量,而用函數(shù)值域加以分析,此法可解有關(guān)不等式、方程、最值、參數(shù)范圍之類問題。(分離參數(shù)法、三角換元法、等價轉(zhuǎn)化思想)
[另解] (數(shù)形結(jié)合法):
[再解] (方程討論法):
例2. 設(shè)不等式2x-1>m(x-1)對滿足|m|≤2的一切實數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍。
[分析] 此問題由于常見的思維定勢,易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而,若變換一個角度以m為變量,記f(m)=(x-1)m-(2x-1),則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))f(m)的值在[-2,2]內(nèi)恒負時參數(shù)x應(yīng)滿足的條件。
[解] 設(shè)f(m)=(x-1)m-(2x-1), 則
解得x∈(,)
[注] 本題有別于關(guān)于x的不等式2x-1>m(x-1)的解集是[-2,2]時求m的值、關(guān)于x的不等式2x-1>m(x-1)在[-2,2]上恒成立時求m的范圍。
在一個含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中,確定合適的變量和參數(shù),從而揭示函數(shù)關(guān)系,使問題更明朗化。
例3. 設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項的和為S,已知a=12,S>0,S<0 。
①.求公差d的取值范圍; ②.指出S、S、…、S中哪一個值最大,并說明理由。(92年全國高考)
[分析] ①問用a、S易求;②問利用S是n的二次函數(shù)而求什么時候取最大值。
[解]
[注] 數(shù)列的通項公式及前n項和公式實質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù),因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題。
[另解②問](尋求a>0、a<0 ):
例4. 如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在平面,C是圓周上任一點,設(shè)∠BAC=θ,PA=AB=2r,求異面直線PB和AC的距離。
[分析] 異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值,從而設(shè)定變量,建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。
P
M
A
H B
D C
[解] 在PB上任取一點M,作MD⊥AC于D,MH⊥AB于H,
設(shè)MH=x,則MH⊥平面ABC,AC⊥HD 。
∴MD=x+[(2r-x)sinθ]=(sin+1)x-4rsinθx+4rsinθ
=(sinθ+1)[x-]+
即當(dāng)x=時,MD取最小值為兩異面直線的距離。
[注] 求最大值、最小值的實際問題,將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言后,建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識解答。(見再現(xiàn)性題組第8題)
例5. 已知△ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列,且tgA.tgC=2+,又知頂點C的對邊c上的高等于4,求△ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。
[解] 由A、B、C成等差數(shù)列,可得B=60°;
由△ABC中tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC,得tgA+tgC=tgB(tgA.tgC-1)=(1+)
設(shè)tgA、tgC是方程x-(+3)x+2+=0的兩根,解得x=1,x=2+
設(shè)A<C,則tgA=1,tgC=2+, ∴A=,C=
…
例6. 若(z-x) -4(x-y)(y-z)=0,求證:x、y、z成等差數(shù)列。
[分析] 題設(shè)正好是判別式b-4ac=0的形式,因此構(gòu)造一個一元二次方程求解。
[證明] 當(dāng)x=y(tǒng)時,可得x=z, ∴x、y、z成等差數(shù)列;
當(dāng)x≠y時,設(shè)方程(x-y)t-(z-x)t+(y-z)=0,由△=0得t=t,并易知t=1是方程的根。
∴t.t==1 , 即2y=x+z , ∴x、y、z成等差數(shù)列
[注] 題設(shè)條件具備或經(jīng)變形整理后具備x+x=a、x.x=b的形式,則利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程;具備b-4ac≥0或b-4ac≤0的形式,可利用根的判別式構(gòu)造一元二次方程。
例7. △ABC中,求證:cosA.cosB.cosC≤ 。
[證明] 設(shè)k=cosA.cosB.cosC=[cos(A+B)+cos(A-B)].cosC=[-cosC+cos(A-B)]cosC
整理得:cosC-cos(A-B).cosC+2k=0,即看作關(guān)于cosC的一元二次方程。
∴ △=cos(A-B)-8k≥0 即 8k≤cos(A-B)≤1 ∴ k≤即cosA.cosB.cosC≤
[注]既是方程思想,也屬判別式法。還可用放縮法:cosA.cosB.cosC=… =
-cosC+cos(A-B).cosC=-[cosC-]+cos(A-B)≤cos(A-B) ≤
例8. 設(shè)f(x)=lg,如果當(dāng)x∈(-∞,1]時f(x)有意義,求實數(shù)a的取值范圍。
[解] 由題可知,不等式1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立,即:()+()+a>0
設(shè)t=(),
則t≥, 又設(shè)g(t)=t+t+a,其對稱軸為t=-
∴ t+t+a=0在[,+∞)上無實根, 即 g()=()++a>0,得a>-
[注] 二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者是緊密聯(lián)系的。也可用分離參數(shù)法:
Ⅲ、鞏固性題組: