由= +得M的坐標(biāo)為(x,y), 由x0,y0滿足C的方程,得點(diǎn)M的軌跡方程為:
+ =1 (x>1,y>2)
(Ⅱ)| 2= x2+y2, y2= =4+ ,
∴2= x2-1++5≥4+5=9.且當(dāng)x2-1= ,即x=>1時(shí),上式取等號(hào).
故的最小值為3.
8.(上海卷)在平面直角坐標(biāo)系O中,直線與拋物線=2相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求證:“如果直線過(guò)點(diǎn)T(3,0),那么=3”是真命題;
(2)寫(xiě)出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說(shuō)明理由.(15班)
[解](1)設(shè)過(guò)點(diǎn)T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2).
當(dāng)直線的鈄率不存在時(shí),直線的方程為x=3,此時(shí),直線與拋物線相交于點(diǎn)A(3,)、B(3,-). ∴=3;
當(dāng)直線的鈄率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,其中,
由得
又 ∵ ,
∴,
綜上所述,命題“如果直線過(guò)點(diǎn)T(3,0),那么=3”是真命題;
(2)逆命題是:設(shè)直線交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過(guò)點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題.
例如:取拋物線上的點(diǎn)A(2,2),B(,1),此時(shí)=3,直線AB的方程為:,而T(3,0)不在直線AB上;
說(shuō)明:由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3,可得y1y2=-6,
或y1y2=2,如果y1y2=-6,可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(3,0);如果y1y2=2,可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(-1,0),而不過(guò)點(diǎn)(3,0).
9.(全國(guó)II)已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),且=λ(λ>0).過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為M.
(Ⅰ)證明.為定值;
(Ⅱ)設(shè)△ABM的面積為S,寫(xiě)出S=f(λ)的表達(dá)式,并求S的最小值.(15班)
解:(Ⅰ)由已知條件,得F(0,1),λ>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由=λ,
即得 (-x1,1-y)=λ(x2,y2-1),
將①式兩邊平方并把y1=x12,y2=x22代入得 y1=λ2y2 ③
解②、③式得y1=λ,y2=,且有x1x2=-λx22=-4λy2=-4,
拋物線方程為y=x2,求導(dǎo)得y′=x.
所以過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是
y=x1(x-x1)+y1,y=x2(x-x2)+y2,即y=x1x-x12,y=x2x-x22.
解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)=(,-1). ……4分
所以.=(,-2).(x2-x1,y2-y1)=(x22-x12)-2(x22-x12)=0
所以.為定值,其值為0. ……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中,FM⊥AB,因而S=|AB||FM|.
|FM|===
==+.
因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y=-1的距離,所以
|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ++2=(+)2.
于是 S=|AB||FM|=(+)3,
由+≥2知S≥4,且當(dāng)λ=1時(shí),S取得最小值4.
10.(山東卷)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,兩準(zhǔn)線間的距離為4.。(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線過(guò)點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)ΔAOB面積取得最大值時(shí),求直線l的方程.(15班)
解:設(shè)橢圓方程為
(Ⅰ)由已知得∴所求橢圓方程為 .
(Ⅱ)解法一:由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為
由,消去y得關(guān)于x的方程:
由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),解得
又由韋達(dá)定理得
原點(diǎn)到直線的距離
.
解法1:對(duì)兩邊平方整理得:(*)
∵,
整理得:
又, 從而的最大值為,
此時(shí)代入方程(*)得
所以,所求直線方程為:.
解法2:令, 則
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí), 此時(shí).
所以,所求直線方程為
解法二:由題意知直線l的斜率存在且不為零.設(shè)直線l的方程為,則直線l與x軸的交點(diǎn),
由解法一知且,
解法1: =
.
下同解法一.
解法2:=
下同解法一.
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