8.人教版選修1－1第108頁B 組習(xí)題，選修2－2第34頁B組習(xí)題
利用函數(shù)的單調(diào)性，證明：
變式1：證明：
，
證明：(1)構(gòu)造函數(shù)
，
，當(dāng)
，得下表
|
|
 |
 |
 |
 |
+ |
0 |
- |
 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
總有
另解，當(dāng)，
當(dāng)，
單調(diào)遞增，
……①
當(dāng)，
單調(diào)遞減，
………………②
當(dāng)
…………………………………………………………③
綜合①②③得：當(dāng)時，
(2)構(gòu)造函數(shù)
，
當(dāng)
，當(dāng)
單調(diào)遞減；
當(dāng)
單調(diào)遞增；
極小值=
，
總有
即：
.
綜上(1)(2)不等式成立.
變式：(理科)設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)a的取值范圍.
解：
方程f(x)=x2+x+a, 即x－a+1－ln(1+x)2=0，記g(x)=x－a+1－ln(1+x)2.
所以
.由
>0,得x<－1或x>1,由<0
得－1<x<1.
所以g(x)在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增，為使f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有兩個相異的實根，只須g(x)=0在
上各有一個實根，于是有
9. 函數(shù)
若
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍
解：由
，得
單調(diào)遞增；
又
，
所以
是奇函數(shù).
，
在
上單調(diào)遞增， 
恒成立，即：
恒成立，分類：①當(dāng)
恒成立，
適合；
②當(dāng)
恒成立
解得：
綜上，
說明:(1)通過研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性與奇偶性)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式問題，是函數(shù)思想的重要應(yīng)用.(2)找尋使
恒成立的條件實際上依然用的是函數(shù)圖像(數(shù)形結(jié)合)的函數(shù)思想.
變式:設(shè)函數(shù)若
恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
解：由，得單調(diào)遞增；
又，
所以是奇函數(shù).
，
恒成立，即
恒成立.
①當(dāng)
成立；
②當(dāng)
10.如圖,曲線段OMB是函數(shù)
的圖象,
軸于點A,曲線段OMB上一點M
處的切線PQ交x軸于點P,交線段AB于點Q
(1)若t已知,求切線PQ的方程 (2)求
的面積的最大值
解：(1)
，所以過點M的切線的斜率為
由點斜式得切線PQ方程為
，
即
……①
(2)
…………②
對①令x=6得
…………③
令y=0得
…………④
③④代入②得
，令
解得
|
T |
(0,4) |
4 |
(4,6) |
|
S’ |
+ |
0 |
- |
|
S |
增 |
極大值64 |
減 |
所以當(dāng)t=4時
有極大值64,
所以當(dāng)t=4時,的面積的最大值為64.
11.用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻折900角，再焊接而成，問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大的容積是多少？
解：設(shè)容器的高為x，容器的體積為V.
則
(0 < x < 24)
＝
x
∵
x
由
∴
所以 當(dāng)
又
所以 
0
答：該容器的高為10cm時，容器有最大容積19600
12.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品
件的總成本
(萬元)，已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，產(chǎn)量定為多少時總利潤最大？
分析：先建立總利潤的目標(biāo)函數(shù)，總利潤=總銷售量-總成本C(x)= 產(chǎn)品件數(shù)*產(chǎn)品單價-C(x),因而應(yīng)首先求出產(chǎn)品單價P(x)的解析式.
解：設(shè)產(chǎn)品的單價P元，據(jù)已知，
，
設(shè)利潤為y萬元，則
，
遞增；
遞減，
極大=
最大.
答：當(dāng)產(chǎn)量為25萬件時，總利潤最大
選修2-2第59頁例1、例2
計算下列定積分：
變式1：計算：；
(1)
；(2)
解：.(1)
(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：
與x=0,x=2所圍圖形是以(0,0)為圓心，2為半徑的四分之一個圓，其面積即為
(圖略)
變式2：
求將拋物線
和直線
圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積.
分析：利用定積分的定義解題，應(yīng)當(dāng)畫出草圖.
解：先求出拋物線和直線交點坐標(biāo)(1，1)，(1，-1)
利用定積分的定義易得：
變式3：在曲線
上某一點A處作一切線使之與曲線以及軸所圍的面積為
，試求：(1)切點A的坐標(biāo)；(2)在切點A的切線方程.
