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8.人教版選修1-1第108頁B 組習(xí)題,選修2-2第34頁B組習(xí)題
利用函數(shù)的單調(diào)性,證明:
變式1:證明:,
證明:(1)構(gòu)造函數(shù),
,當(dāng),得下表
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+ |
0 |
- |
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單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
總有
另解,當(dāng),
當(dāng),單調(diào)遞增,……①
當(dāng),單調(diào)遞減, ………………②
當(dāng) …………………………………………………………③
綜合①②③得:當(dāng)時,
(2)構(gòu)造函數(shù),
當(dāng),當(dāng)單調(diào)遞減;
當(dāng)單調(diào)遞增;極小值=,
總有即:.
綜上(1)(2)不等式成立.
變式:(理科)設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有兩個相異的實根,求實數(shù)a的取值范圍.
解:
方程f(x)=x2+x+a, 即x-a+1-ln(1+x)2=0,記g(x)=x-a+1-ln(1+x)2.
所以.由>0,得x<-1或x>1,由<0
得-1<x<1.
所以g(x)在[0,1]上遞減,在[1,2]上遞增,為使f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有兩個相異的實根,只須g(x)=0在上各有一個實根,于是有