1、已知函數(shù)y=滿足,且方程=0有n個實根x1,x2,…xn,則x1+x2+…+xn= 3n 。
解:由可得y=的圖像圖像關(guān)于x=3對稱。
當(dāng)n為偶數(shù)時,方程=0有n個實根x1,x2,…xn兩兩成對出現(xiàn),且成對兩根之和為6,
所以x1+x2+…+xn=6×=3n
當(dāng)n為奇數(shù)時,方程=0有n個實根中必有一根為3,其余n-1個根兩兩成對出現(xiàn),且成對兩根之和為6,所以x1+x2+…+xn=3+3(n-1)=3n
故x1+x2+…+xn=3n。
2、對一個各邊不等的凸五邊形的各邊染色,每條邊可以染紅、黃、藍三種顏色中的一種,但是不允許相鄰的邊有相同的顏色.則共有 30 種不同的染色方法。
解:記凸五邊形的各邊分別為①、②、③、④、⑤
第一步:將五邊分成三組且相鄰邊不在同一組,則有
①、②④、③⑤ ②、①④、③⑤
③、①④、②⑤ ④、①③、②⑤
⑤、①③、②④
故共有五組
第二步:將三種顏色對應(yīng)三組進行全排列A=6
由分步計數(shù)原理得共有5×6=30種。
3、如圖1,設(shè)P、Q為△ABC內(nèi)的兩點,且, =+則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為 ( B )
A. B. C. D.
圖1 圖2
解:如圖2設(shè),則由平行四邊形法則知NP∥AB,所以=,同理可得。
故即選B.
4、設(shè)x>1,S=min{logx2,log2(4x3)}則S的最大值為 3 。
解:由題設(shè)知S logx2,S log2(4x3),且S>0則
S log2(4x3)=2+3log2x=2+2+,
于是S2-2S-30得-1S3當(dāng)x=時取等號。
5、在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(0,1)和點B(-3,4),C點在AB上且OC是∠AOB的角平分線,則= (-,) 。
解:由題設(shè)知=(0,1),=(-3,4)
OC是∠AOB的角平分線
可設(shè)=()=+
又C點在AB上
所以+=1解得=
故=+=(-,)
6、在十進制中,若一個至少有兩位數(shù)字的正整數(shù)除了最左邊的數(shù)字外,其余各個數(shù)字都小于其左邊的數(shù)字時,則稱它為遞降正整數(shù).所有這樣的遞降正整數(shù)的個數(shù)為(D )
(A)1001 (B)1010 (C)1011 (D)1013
解:當(dāng)正整數(shù)為兩位數(shù)時,有個
當(dāng)正整數(shù)為三位數(shù)時,有個
………
當(dāng)正整數(shù)為十位數(shù)時,有個
由分類計數(shù)原理得共有正整數(shù)++…+=210--=1013
故選D。
7、已知,設(shè),記
(1)求證:tan=2tan
(2)求 的表達式;
(3)定義正數(shù)數(shù)列{an};a1=2,=2(n)。
試求數(shù)列的通項公式。
解:(1)由,得sin=3sin ,即
sincos=2cossin
故tan=2tan
(2)由tan=2tan得 即。解得
y=故=
(3)因為=2=2,
所以=+1即-2=(-2)
因此{-2}是首項為2,公比為的等比數(shù)列。
所以-2=2故an=。
8、平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,給定兩點A(1,0)、B(0,-2),點C滿足 、
(1)求點C的軌跡方程;
(2)設(shè)點C的軌跡與橢圓交于兩點M、N,且以MN為直徑的圓過原點,求證:
(3)在(2)的條件下,若橢圓的離心率不大于,求橢圓實軸長的取值范圍.
解:(1)設(shè)
即點C的軌跡方程為x+y=1 。
(2) 得:(a2+b2)x2-2a2x+ a2- a2b2=0
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則“
x1+ x2=, x1x2=
因為以MN為直徑的圓過原點為,
所以=0,即x1x2+y1y2=0
∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+ x2)+2 x1x2=1-+2=0
即a2+b2-2 a2b2=0
∴
(3)
∴橢圓實軸長的取值范圍是(0,。