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8、平面直角坐標系中,O為坐標原點,給定兩點A(1,0)、B(0,-2),點C滿足 、
(1)求點C的軌跡方程;
(2)設點C的軌跡與橢圓交于兩點M、N,且以MN為直徑的圓過原點,求證:
(3)在(2)的條件下,若橢圓的離心率不大于,求橢圓實軸長的取值范圍.
解:(1)設
即點C的軌跡方程為x+y=1 。
(2) 得:(a2+b2)x2-2a2x+ a2- a2b2=0
設M(x1,y1),N(x2,y2),則“
x1+ x2=, x1x2=
因為以MN為直徑的圓過原點為,
所以=0,即x1x2+y1y2=0
∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+ x2)+2 x1x2=1-+2=0
即a2+b2-2 a2b2=0
∴
(3)
∴橢圓實軸長的取值范圍是(0,。