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1．(人教A版選修2-3第66頁(yè)例4)

某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，求這名射手在 10 次射擊中，

(1)恰有 8 次擊中目標(biāo)的概率；

(2)至少有 8 次擊中目標(biāo)的概率？

變式1：某人參加一次考試，4道題中解對(duì)3道則為及格，已知他的解題正確率為，則他能及格的概率為　　　　　　 ?。?/p>

[解析]：他能及格則要解對(duì)4道題中解對(duì)3道或4道：解對(duì)3道的概率為：，解對(duì)4道的概率為：，且A與B互斥，他能及格的概率為．

變式2：設(shè)甲、已、丙三人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為0.7、0.6和0.5。

(1)　三人各向目標(biāo)射擊一次，求至少有一人命中目標(biāo)的概率及恰有兩人命中目標(biāo)的概率；

　　　 (2) 若甲單獨(dú)向目標(biāo)射擊三次，求他恰好命中兩次的概率．

　　　　　　　　　　　 [解析](I)設(shè)A_K表示“第k人命中目標(biāo)”，k=1，2，3.

　　　這里，A₁，A₂，A₃獨(dú)立，且P(A₁)=0.7，P(A₂)=0.6，P(A₃)=0.5.

　　　　從而，至少有一人命中目標(biāo)的概率為

　　　恰有兩人命中目標(biāo)的概率為

　　　　答：至少有一人命中目標(biāo)的概率為0.94，恰有兩人命中目標(biāo)的概率為0.44．

(II)設(shè)甲每次射擊為一次試驗(yàn)，從而該問(wèn)題構(gòu)成三次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn).又已知在每次試驗(yàn)中事件“命中目標(biāo)”發(fā)生的概率為0.7，故所求概率為

　　　答：他恰好命中兩次的概率為0.441.

變式3：在2004年雅典奧運(yùn)會(huì)中，中國(guó)女排與俄羅斯女排以“五局三勝”制進(jìn)行決賽，根據(jù)以往戰(zhàn)況，中國(guó)女排在每一局贏的概率為　已知比賽中，俄羅斯女排先勝了每一局，求：

(1) 中國(guó)女排在這種情況下取勝的概率；

(2) 求本場(chǎng)比賽只打四局就結(jié)束的概率．(均用分?jǐn)?shù)作答)

[解析](1)中國(guó)女排取勝的情況有兩種，第一種是中國(guó)女排連勝三局，第二種是在第2局到第4局，中國(guó)女排贏了兩局，第5局中國(guó)女排贏，∴中國(guó)女排取勝的概率為

(2)

變式4：一個(gè)質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲5次,正面向上恰為1次的可能性不為0,而且與正面向上恰為2次的概率相同.令既約分?jǐn)?shù)為硬幣在5次拋擲中有3次正面向上的概率,求.

[解析]設(shè)正面向上的概率為P,依題意:

,1-P=2P,

解得:,

硬幣在5次拋擲中有3次正面向上的概率為:

.

試題詳情

2．(人教A版選修2-3第77頁(yè)例4)

隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面的點(diǎn)數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

變式1：設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率為，現(xiàn)在連續(xù)射擊4次，求擊中目標(biāo)的次數(shù)ξ的概率分布．

[解析]擊中目標(biāo)的次數(shù)ξ可能為0，1，2，3，4。

當(dāng)ξ=0時(shí)，，

當(dāng)ξ=1時(shí)，，

當(dāng)ξ=2時(shí)，，

當(dāng)ξ=3時(shí)，，

當(dāng)ξ=4時(shí)，，

所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P

變式2：袋中有12個(gè)大小規(guī)格相同的球，其中含有2個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，求取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)ξ的概率分布．

[解析]ξ的所有可能的取值為：0，1，2．

當(dāng)ξ=0時(shí)，，

當(dāng)ξ=1時(shí)，，

當(dāng)ξ=2時(shí)，，

ξ	0	1	2
P

評(píng)述：++==1．

變式3：從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù).

　 (1)求的分布列；

(2)求的數(shù)學(xué)期望；

(3)求“所選3人中女生人數(shù)”的概率.

[解析](1)可能取的值為0，1，2?！?．

所以，的分布列為

	0	1	2
P

(2)由(1)，的數(shù)學(xué)期望為

(3)由(1)，“所選3人中女生人數(shù)”的概率為

．

變式4：甲、乙兩人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6題，乙能答對(duì)其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2題才算合格.

(Ⅰ)求甲答對(duì)試題數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

(Ⅱ)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.

[解析](Ⅰ)依題意，甲答對(duì)試題數(shù)ξ的概率分布如下：

ξ	0	1	2	3
P

甲答對(duì)試題數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望

Eξ=0×+1×+2×+3×=.

(Ⅱ)設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則

P(A)===，P(B)===.

因?yàn)槭录嗀、B相互獨(dú)立，

方法一：

∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為

P()=P()P()=1－)(1－)=.

∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1－P()=1－=.

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.

方法二：

∴甲、乙兩人至少有一個(gè)考試合格的概率為

P=P(A.)+P(.B)+P(A.B)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)

=×+×+×=.

答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.

試題詳情

3．(人教A版選修2-3第86頁(yè)B組2)

若，求。

變式1：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，1)，如果P(ξ<1)=0.8413，求P(－1<ξ<0).

[解析]∵ξ-N(0，1)，

∴P(－1<ξ<0)=P(0<ξ<1)=Φ(1)－Φ(0)=0.8413－0.5=0.3413.

變式2：一投資者在兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)，這兩個(gè)投資方案的利潤(rùn)x(萬(wàn)元)分別服從正態(tài)分布N(8，3²)和N(6，2²)，投資者要求利潤(rùn)超過(guò)5萬(wàn)元的概率盡量地大，那么他應(yīng)選擇哪一個(gè)方案?

[解析]對(duì)第一個(gè)方案，有x-N(8，3²)，于是P(x>5)=1－P(x≤5)=1－F(5)=1－Φ()=1－Φ(－1)=1－［1－Φ(1)]=Φ(1)=0.8413.

對(duì)第二個(gè)方案，有x-N(6，2²)，于是P(x>5)=1－P(x≤5)=1－F(5)=1－Φ()=1－Φ(－0.5)=Φ(0.5)=0.6915.

相比之下，“利潤(rùn)超過(guò)5萬(wàn)元”的概率以第一個(gè)方案為好，可選第一個(gè)方案.

變式3：在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布.已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有12名.

(Ⅰ)試問(wèn)此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人？

(Ⅱ)若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問(wèn)設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線(xiàn)約為多少分？

可供查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1	0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821	0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826	0.8888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830	0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834	0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838	0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842	0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846	0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850	0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854	0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

[解析]：本小題主要考查正態(tài)分布，對(duì)獨(dú)立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

[解答](Ⅰ)設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383862_1/image035.gif">-N(70，100)，由條件知，

P(≥90)＝1－P(<90)＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.

這說(shuō)明成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%，因此，

參賽總?cè)藬?shù)約為≈526(人)．

(Ⅱ)假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線(xiàn)為x分，則

P(≥x)＝1－P(<x)＝1－F(x)＝1－＝＝0.0951，

即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故設(shè)獎(jiǎng)得分?jǐn)?shù)線(xiàn)約為83.1分．

試題詳情

4．(人教A版選修2-3第100頁(yè)例2)

一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù) 　和溫度　有關(guān)，現(xiàn)收集了 7 組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中，試建立　與　之間的回歸方程。

溫度	21	23	25	27	29	32	35
產(chǎn)卵數(shù)個(gè)	7	11	21	24	66	115	325

變式1：為了對(duì)2006年佛山市中考成績(jī)進(jìn)行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽出8位，他們的數(shù)學(xué)(已折算為百分制)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如下表，

學(xué)生編號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分?jǐn)?shù)y	72	77	80	84	88	90	93	95
化學(xué)分?jǐn)?shù)z	67	72	76	80	84	87	90	92