1．函數(shù)
圖象恒過定點(diǎn)
，若
存在反函數(shù)
，則
的圖象必過定點(diǎn)
。
2．已知集合
，集合
，則集合
。
3．若角
終邊落在射線
上，則
。
4．關(guān)于
的方程
有一實(shí)根為
，則
。
5．?dāng)?shù)列
的首項為
，且
，記
為數(shù)列前項和，則
。
6．新教材同學(xué)做：
若
滿足
，則目標(biāo)函數(shù)
取最大值時
。
老教材同學(xué)做：
若
的展開式中第3項為常數(shù)項，則展開式中二項式系數(shù)最大的是第 
項。
7．已知函數(shù)
，若對任意
有
成立，則方程
在
上的解為
。
8．新教材同學(xué)做：
某校高二(8)班四位同學(xué)的數(shù)學(xué)期中、期末和平時成績可分別用矩陣
表示，總評成績分別按期中、期末和平時成績的30%、40%、30%的總和計算，則四位同學(xué)總評成績的矩陣
可用
表示為
。
老教材同學(xué)做：
某足球隊共有11名主力隊員和3名替補(bǔ)隊員參加一場足球比賽，其中有2名主力和1名替補(bǔ)隊員不慎誤服違禁藥物，依照比賽規(guī)定，比賽后必須隨機(jī)抽取2名隊員的尿樣化驗，則能查到服用違禁藥物的主力隊員的概率為 
。(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)
9．將最小正周期為
的函數(shù)
的圖象向左平移
個單位，得到偶函數(shù)圖象，則滿足題意的
的一個可能值為
。
10．據(jù)某報《自然健康狀況》的調(diào)查報道，所測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，觀察表中數(shù)據(jù)規(guī)律，并將最適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入表中括號內(nèi)。
|
年齡(歲) |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
…… |
|
收縮壓 (水銀柱/毫米) |
110 |
115 |
120 |
125 |
130 |
135 |
(140) |
145 |
…… |
|
舒張壓 (水銀柱/毫米) |
70 |
73 |
75 |
78 |
80 |
73 |
85 |
(88) |
…… |
11．
若函數(shù)
，其中
表示
兩者中的較小者，
則
的解為
。
12．如圖，
是一塊半徑為1的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑
為
的半圓得到圖形
，然后依次剪去一個更小的半圓(其直徑是前
一個被剪掉半圓的半徑)可得圖形
，記紙板
的面積為，則
。
13．已知
滿足
，則下列選項中不一定能成立的是
( C )
A、
B、
C、
D、
14．下列命題正確的是 ( C )
A、若
，
，則
。
B、函數(shù)
的反函數(shù)為
。
C、函數(shù)
為奇函數(shù)。
D、函數(shù)
，當(dāng)
時，
恒成立。
15．函數(shù)
為奇函數(shù)的充要條件是
( B )
A、
B、
C、
D、
16．不等式
對任意
都成立，則
的取值范圍為 ( B )
A、
B、
C、
D、
17．(本題滿分12分)
新教材同學(xué)做：在
中，角
所對邊分別為，已知
0
0
= 0，求的面積S。
0
1
解：計算行列式的值，得 
，由正弦定理，得
即
，∴
，再由
，得
，∴
∴是直角三角形，∴
。
老教材同學(xué)做：在中，角所對邊分別為，已知
，求 的面積S。
解：由及正弦定理，得
，即 ，(其余同上)
18．(本題滿分12分)
設(shè)復(fù)數(shù)
，復(fù)數(shù)
，且
在復(fù)平面上所對應(yīng)點(diǎn)在直線
上，求
的取值范圍。
解：
∴
19．(本題滿分14分)
已知關(guān)于的不等式
的解集為
。
(1)當(dāng)
時，求集合；
(2)若
，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解：(1)時，不等式為
，解之，得
(2)
時，
時，不等式為
，
解之，得 
，
則 ， ∴滿足條件
綜上，得 
。
20．(本題滿分14分)
如圖，一個計算裝置有兩個數(shù)據(jù)輸入口Ⅰ、Ⅱ與一個運(yùn)算結(jié)果輸出口Ⅲ，當(dāng)Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數(shù)
時，輸出結(jié)果記為
，且計算裝置運(yùn)算原理如下：
①
若Ⅰ、Ⅱ分別輸入1，則
；②若Ⅰ輸入固定的正整數(shù)，
Ⅱ輸入的正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來增大3；③若Ⅱ輸入1，
Ⅰ輸入正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來3倍。
試求：
(1)
的表達(dá)式
；(2)的表達(dá)式
；
(3)若Ⅰ、Ⅱ都輸入正整數(shù)，則輸出結(jié)果
能否為2005？
若能，求出相應(yīng)的；若不能，則請說明理由。
解：(1)
(2)
(3)
，∵
，
∴輸出結(jié)果不可能為
。
21．(本題滿分16分)
對數(shù)列，規(guī)定
為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中
。
對自然數(shù)
，規(guī)定
為的階差分?jǐn)?shù)列，其中
。
(1)已知數(shù)列的通項公式
，試判斷，
是否為等差或等比數(shù)列，為什么？
(2)若數(shù)列首項
，且滿足
，求數(shù)列的通項公式。
(3)對(2)中數(shù)列，是否存在等差數(shù)列
，使得
對一切自然
都成立？若存在，求數(shù)列的通項公式；若不存在，則請說明理由。
解：(1)
，∴是首項為4，公差為2的等差數(shù)列。
∴是首項為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項為2，公比為1的等比數(shù)列。
(2)
，即
，即
，∴
∵，∴
，
，
，猜想：
證明：ⅰ)當(dāng)
時，
；
ⅱ)假設(shè)
時，
時，
結(jié)論也成立
∴由ⅰ)、ⅱ)可知，
(3)，即
∵
∴存在等差數(shù)列，
，使得對一切自然都成立。
22．(本題滿分18分)
已知函數(shù)
是定義在
上的奇函數(shù)，當(dāng)
時，
(
為常數(shù))。
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)
時，求在
上的最小值，及取得最小值時的，并猜想在
上的單調(diào)遞增區(qū)間(不必證明)；
(3)當(dāng)
時，證明：函數(shù)的圖象上至少有一個點(diǎn)落在直線
上。
解：(1)
時，
，
則 
∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，即
∴
，即
，又可知 
∴函數(shù)的解析式為 ，
(2)
，∵，
，∴
∵
∴
，即 
時，
。
猜想在上的單調(diào)遞增區(qū)間為
。
(3)時，任取
，∵
∴
在上單調(diào)遞增，即
，即
∵，∴
，∴
∴當(dāng)時，函數(shù)的圖象上至少有一個點(diǎn)落在直線上。