直線與平面垂直

1. 垂直判定

(1)任取

(2)

(3)

2. 垂直性質(zhì)

(1)

(2)過空間一點(diǎn)作定直線的垂面有且僅有一個(gè)

(3)過空間一點(diǎn)作定平面的垂線有且僅有一條

3. 三垂線定理及其逆定理

為的一斜線，為在內(nèi)射影

則：

[重點(diǎn)、難點(diǎn)分析]

1. 以AB為直徑的圓在平面內(nèi)PA⊥于A，C在圓上，連PB、PC過A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，試判斷圖中還有幾組線面垂直。

2. 四面體的四個(gè)面可否均為直角三角形

例1所示為所求。

3. 四面體P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，試判斷的形狀。

　　 設(shè) 、、

　　

　　　　　　　

　　　　　　　

為銳角，同理為銳角。

P在底面射影為垂心。

4. 四面體P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求證：PC⊥AB。

證：過P作PQ⊥面ABC于Q。

　　

　　

　

同理A、B、C在對(duì)面射影也均為垂心。

5. 如圖，直角BAC在外，，，求證：在內(nèi)射影為直角。

證：如圖所示，、

　　 為射影

　　 確定平面

　　

　　

6. 求證兩條異面直線的公垂線有且只有一個(gè)。

證：存在性

　　 過作平面，使、。

　　 E為上一點(diǎn)，過E作于。

　　 確定平面

設(shè)

過A作AB//EF交于B　 ∴ AB為公垂線

唯一性 ，假定存在CD為異面直線公垂線。

∴ A、B、C、D共面共面與已知矛盾。

∴ 假設(shè)不成立　 ∴ 公垂線有且僅有一條。

7. 求證：四個(gè)角是直角的四邊形為矩形。

證：四邊形ABCD四個(gè)角均為。

(1)若ABCD四點(diǎn)共面，顯然ABCD為矩形。

(2)假設(shè)AB、CD為異面直線。

　　 ∴ AD、BC為AB、CD的公垂線，與兩條異面直線的公垂線有且僅有一條矛盾。

　　 ∴ 假設(shè)不成立　 ∴ ABCD四點(diǎn)共面。

　　 ∴ ABCD為矩形

[模擬試題]

1. 下面結(jié)論有(　　 )個(gè)正確的。

(1)過空間一點(diǎn)作與已知直線平行的平面有且僅有一個(gè)

(2)過空間一點(diǎn)作與已知直線垂直的平面有且僅有一個(gè)

(3)過空間一點(diǎn)作與已知平面平行的直線有且僅有一條

(4)過空間一點(diǎn)作與已知平面垂直的直線有且僅有一條

A. 1　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 4

2. 已知直線、、，平面、，下列結(jié)論正確的是(　　 )

A. 　　　　B.

C. 　　D.

3. 三條直線兩兩垂直，則下列結(jié)論正確的是(　　 )

(1)三線必交于一點(diǎn)

(2)其中必有兩條異面

(3)三條線不可能在同一個(gè)平面內(nèi)

(4)其中必有兩條直線在一個(gè)平面內(nèi)

　　 A. 1　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 4