1．(湖南卷)若圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是　 (　　　 )

A.[]　　　 B.[] C.[　　 D.

解析：圓整理為，∴圓心坐標(biāo)為(2，2)，半徑為3，要求圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，　 ∴ ，∴ ，∴ ，，

∴ ，直線的傾斜角的取值范圍是，選B.

2．(江蘇卷)圓的切線方程中有一個(gè)是

(A)x－y＝0　　(B)x+y＝0　　(C)x＝0　　(D)y＝0

[正確解答]直線ax+by=0，則，由排除法，

選C,本題也可數(shù)形結(jié)合，畫出他們的圖象自然會(huì)選C,用圖象法解最省事。

[解后反思]直線與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化(1)幾何條件:圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件:直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來(lái)解.

3．(全國(guó)卷I)從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為　　　　　　　　

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

解析：圓的圓心為M(1，1)，半徑為1，從外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線，則點(diǎn)P到圓心M的距離等于，每條切線與PM的夾角的正切值等于，所以兩切線夾角的正切值為，該角的余弦值等于，選B.

5．(重慶卷)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與x²+y² + 4x+2y+=0相切的直線的方程為

(A)y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x　 (C)y=3x或y=-x　 (B) y=3x或y=x　

解析：過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線為，與圓相切，則圓心(2，－1)到直線方程的距離等于半徑，則，解得，∴ 切線方程為，選A.

6． (遼寧卷)若直線按向量平移后與圓相切，則c的值為( A　 )

　　　 A．8或－2　　　　　　　 B．6或－4　　　　　　　 C．4或－6　　　　　　　 D．2或－8

7(北京卷)從原點(diǎn)向圓 x²+y²－12y+27=0作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長(zhǎng)為　　　　 (B )

　　 (A)π　 (B)2π　　　 (C)4π　　 (D)6π

8(湖南卷)設(shè)直線和圓相交于點(diǎn)A、B，則弦AB的垂直平分線方程是　 　　　　.

9.如果實(shí)數(shù)滿足,求的最大值、2x-y的最小值

解:(1)問題可轉(zhuǎn)化為求圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率的最大值, 由圖形性質(zhì)可知, 由原點(diǎn)向圓作切線,其中切線斜率的最大值即為的最大值

設(shè)過原點(diǎn)的直線為y=kx,即kx-y=0,

由,解得或

(2)x,y滿足,

　　

[典型考例]

[問題1]直線的方程與平行、垂直條件

P₉₁ 　例1

例2.若直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

例3.自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在的直線與圓相切,求光線所在的直線方程

解:由已知可得圓C：關(guān)于x軸對(duì)稱的圓C^‘的方程為，其圓心C^‘(2，-2)，則與圓C^’相切，

設(shè):　 y-3=k(x+3),　　 ，

整理得12k²+ 25k+12=0,　 解得或，

所以所求直線方程為y-3=　(x+3)或 y-3=　(x+3)，

即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0

[問題2]圓的方程

例4.P₉₂　 例2

例5.(07年湖南文理科試題)如圖，過拋物線x²=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。(I)設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明:　(II)設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A,B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程.

　　 解：(Ⅰ)依題意，可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得　　 ①

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、、x₂是方程①的兩根.

所以　 　　

由點(diǎn)P(0，m)分有向線段所成的比為，得

又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0，－m)，從而.

　 　　

所以　

(Ⅱ)由 得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(6，9)、(－4，4).

由 　得 所以拋物線 在點(diǎn)A處切線的斜率為

設(shè)圓C的方程是則

解之得

所以圓C的方程是　 即　

例6.一個(gè)圓和已知圓外切,并與直線:相切于點(diǎn)M(),求該圓的方程

已知圓方程化為: ,其圓心P(1,0),半徑為1

設(shè)所求圓的圓心為C(a,b),　 則半徑為,

因?yàn)閮蓤A外切,　,從而1+　　　 (1)

又所求圓與直線：相切于M(),直線,于是,

即　 　　　(2)　　　　 將(2)代入(1)化簡(jiǎn),得a²-4a=0,　 a=0或a=4

當(dāng)a=0時(shí),,所求圓方程為

當(dāng)a=4時(shí),b=0,所求圓方程為

[問題3]直線與圓的位置關(guān)系

例7.P₉₆T₈　　　 例8_.　 P₉₆　 T₉

[問題3]綜合與提高

例9:　　　 例3. 2.(廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合(如圖5所示)．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上．

(Ⅰ)若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；

(Ⅱ)求折痕的長(zhǎng)的最大值．

例10. 23.如圖，過圓O：x²+y²=4與y軸正半軸交點(diǎn)A作此圓的切線，M為上任一點(diǎn)，過M作圓O的另一條切線，切點(diǎn)為Q，求△MAQ垂心P的軌跡方程。

[課后訓(xùn)練]

1．(安徽卷)直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是

A．　 B．　 C．　 D．　

解：由圓的圓心到直線大于，且，選A。

2．(陜西卷)設(shè)直線過點(diǎn)(0,a),其斜率為1, 且與圓x²+y²=2相切,則a 的值為(　 )

A.±　 　　　　　B.±2　　 　　　　　B.±2　　 　　　　　D.±4

解析：設(shè)直線過點(diǎn)(0，a)，其斜率為1， 且與圓x²+y²=2相切，設(shè)直線方程為，圓心(0，0)道直線的距離等于半徑，∴ ，∴ a 的值±2，選B．

3．(江西卷) “a=b”是“直線”的　　　　 (A )

　　　 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

　　　 C．充分必要條件　　 D．既不充分又不必要條件

4 (重慶卷)圓(x+2)²+y²=5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱的圓的方程為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (A　 )

　　 (A) (x-2)²+y²=5； (B) x²+(y-2)²=5； (C) (x+2)²+(y+2)²=5； (D) x²+(y+2)²=5。

5. (全國(guó)卷I)已知直線過點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是(B)

(A)　　　　　 (B)　　　　

(C)　　　　　　 (D)

6．(湖北卷)已知直線與圓相切，則的值為　　　　 。

解：圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑為1，由已知可得

，所以的值為－18或8。

7．(湖北卷)若直線y＝kx+2與圓(x－2)²+(y－3)²＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k 的取值范圍是　　　 .

解：由直線y＝kx+2與圓(x－2)²+(y－3)²＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得直線與圓的位置關(guān)系是相交，故圓心到直線的距離小于圓的半徑，即<1，解得kÎ(0，)

8.(上海卷)已知兩條直線若，則____.

解：兩條直線若，，則2.

9.(江蘇卷) 如圖,圓O₁與圓O₂的半徑都是1,O₁O₂=4,過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O₁、圓O₂的切線PM、PN(M、N分別為切點(diǎn))，使得試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程.

解：如圖，以直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則兩圓心分別為．設(shè)，則，同理．

∵，

∴，

即，即．這就是動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

10、當(dāng)0<a<2時(shí)，直線L₁：ax-2y-2a+4=0與L₂：2x+a²y-2a²-4=0和坐標(biāo)軸成一個(gè)四邊形，要使圍成的四邊形面積最小，a應(yīng)取何值？

11．已知圓C: x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線L,使以L被圓C截得弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)?若存在,寫出直線的方程;若不存在,說明理由

解:設(shè)直線L的斜率為1，且L的方程為y=x+b,則　消元得方程2x²+(2b+2)x+b²+4b-4=0,設(shè)此方程兩根為x_1,x₂，則x₁₊x₂＝－(b+1),y₁+y₂= x₁₊x₂+2b=b-1,則AB中點(diǎn)為，又弦長(zhǎng)為＝，由題意可列式＝解得b=1或b=-9,經(jīng)檢驗(yàn)b=-9不合題意．所以所求直線方程為y=x+1

考點(diǎn)透析10答案:

考點(diǎn)小測(cè)答案:

課后練習(xí)答案: