9.如果實(shí)數(shù)滿足,求的最大值、2x-y的最小值
解:(1)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率的最大值, 由圖形性質(zhì)可知, 由原點(diǎn)向圓作切線,其中切線斜率的最大值即為的最大值
設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線為y=kx,即kx-y=0,
由,解得或
(2)x,y滿足,
[典型考例]
[問(wèn)題1]直線的方程與平行、垂直條件
P91 例1
例2.若直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn),其中A(-2,
3),B(3,2),求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
例3.自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在的直線與圓相切,求光線所在的直線方程
解:由已知可得圓C:關(guān)于x軸對(duì)稱的圓C‘的方程為,其圓心C‘(2,-2),則與圓C’相切,
設(shè): y-3=k(x+3),
,
整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或,
所以所求直線方程為y-3= (x+3)或
y-3= (x+3),
即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0
[問(wèn)題2]圓的方程
例4.P92 例2
例5.(07年湖南文理科試題)如圖,過(guò)拋物線x2=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。(I)設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為,證明: (II)設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0,過(guò)A,B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線,求圓C的方程.
解:(Ⅰ)依題意,可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得 ①
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、、x2是方程①的兩根.
所以
由點(diǎn)P(0,m)分有向線段所成的比為,得
又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0,-m),從而.
所以
(Ⅱ)由
得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(6,9)、(-4,4).
由 得 所以拋物線 在點(diǎn)A處切線的斜率為
設(shè)圓C的方程是則
解之得
所以圓C的方程是 即
例6.一個(gè)圓和已知圓外切,并與直線:相切于點(diǎn)M(),求該圓的方程
已知圓方程化為: ,其圓心P(1,0),半徑為1
設(shè)所求圓的圓心為C(a,b), 則半徑為,
因?yàn)閮蓤A外切, ,從而1+
(1)
又所求圓與直線:相切于M(),直線,于是,
即 (2)
將(2)代入(1)化簡(jiǎn),得a2-4a=0, a=0或a=4
當(dāng)a=0時(shí),,所求圓方程為
當(dāng)a=4時(shí),b=0,所求圓方程為
[問(wèn)題3]直線與圓的位置關(guān)系
例7.P96T8
例8. P96 T9
[問(wèn)題3]綜合與提高
例9: 例3.
2.(廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2,寬為1,AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上,A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合(如圖5所示).將矩形折疊,使A點(diǎn)落在線段DC上.
(Ⅰ)若折痕所在直線的斜率為k,試寫(xiě)出折痕所在直線的方程;
(Ⅱ)求折痕的長(zhǎng)的最大值.
例10. 23.如圖,過(guò)圓O:x2+y2=4與y軸正半軸交點(diǎn)A作此圓的切線,M為上任一點(diǎn),過(guò)M作圓O的另一條切線,切點(diǎn)為Q,求△MAQ垂心P的軌跡方程。
[課后訓(xùn)練]