點到直線的距離；

　　 點關(guān)于點、關(guān)于直線的對稱點；

　　 直線關(guān)于點、關(guān)于直線的對稱直線；

　　 直線方程復(fù)習(xí)；

1. 點到直線距離公式及證明

　　

　　 關(guān)于證明：

　　 根據(jù)點斜式，直線PQ的方程為(不妨設(shè)A≠0)

　　

　　

　　 解方程組

　　

　　

　　 這就是點Q的橫坐標(biāo)，又可得

　　

　　　　　

　　

　　 所以，

　　

　　　 。

　 　這就推導(dǎo)得到點P(x₀，y₀)到直線l：Ax+By+C=0的距離公式。

　　 如果A=0或B=0，上式的距離公式仍然成立。

　　 下面再介紹一種直接用兩點間距離公式的推導(dǎo)方法。

　　 設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x₁，y₁)，則

　　

　　 把方程組作變形，

　　

　　 把①，②兩邊分別平方后相加，得

　　

　　

　　 所以，

　　

　　 所以，

　　

　　　

　　 此公式還可以用向量的有關(guān)知識推導(dǎo)，介紹如下：

　　

　　

　　 把③、④兩式左右兩邊分別相減，得

　　

　　 由向量的數(shù)量積的知識，知

　　

　　 這里n=(A，B)。所以n=(A，B)是與直線l垂直的向量。

　　

　　

　　 (如圖所示)

　　

　　

　　 (如圖所示)

　　 所以，都有

　　

　　 因為

　　

　　 所以

　　

　　　

　　　

　　　

　　

2. 平行線間的距離公式

3. 點關(guān)于點的對稱點(中點坐標(biāo)公式)

4. 已知P₀(x₀，y₀)直線l：Ax+By+C=0(B≠0)

　　

　　

　　

　　 特別地關(guān)于特殊直線的對稱點。

　　 (x軸、y軸、直線y=x，直線y=－x)

5. 直線l關(guān)于點P₀(x₀，y₀)對稱直線(三種方法)

6.

　　 特別地直線l關(guān)于特殊直線y=±x+b的對稱直線。

[典型例題]

　 例1.

　　 解法一：

　　

　　

　　

　　

　　 ∴c=32或c=－20，

　　

　　 解法二：設(shè)所求直線的方程為

　　

　　 由兩平行直線間的距離公式，

　　

　　

　　 故所求直線的方程為

　　

　　 小結(jié)：求兩條平行線之間的距離，可以在其中的一條直線上取一點，求這點到另一條直線的距離，即把兩條平行線之間的距離，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離。也可以直接套兩平行

　 例2. 已知正方形的中心為G(－1，0)，一邊所在直線的方程為x+3y－5=0，求其他三邊所在的直線方程。

　　 解：正方形中心G(－1，0)到四邊距離均為

　　

　　 設(shè)正方形與已知直線平行的一邊所在直線的方程為x+3y+c₁=0。

　　

　　

　　 故與已知邊平行的邊所在直線的方程為x+3y+7=0

　　 設(shè)正方形另一組對邊所在直線的方程為3x－y+c₂=0。

　　

　　

　　

　　 所以正方形另兩邊所在直線的方程為：

　　

　　 綜上所述，正方形其他三邊所在直線的方程分別為：

　　

　　 小結(jié)：本例解法抓住正方形的幾何性質(zhì)，利用點到直線的距離公式，求得了正方形其他三邊所在直線的方程。

　 例3.

　　 解法一：

　　 ∴點(1，0)為兩已知直線的交點。

　　 設(shè)所求直線的斜率為k，由一條直線到一條直線的角的公式，

　　

　　 故所求直線方程為

　　

　　 解法二：由解法一知兩已知直線的交點為A(1，0)。

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　 解法三：設(shè)P(x，y)是所求直線上的任一點，P關(guān)于直線x+y－1＝0對稱的點為P₀(x₀，y₀)，

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

解法四：直線x+y－1=0　　 k=－1

　　 由x+y－1=0代入x－2y－1=0得

1－y－2(1－x)－1=0

2x－y－2=0即為所求。

　　 小結(jié)：求直線l關(guān)于直線l₁對稱的直線的方程，只要在l上取兩點A、B，求A、B關(guān)于l₁的對稱點A'、B'，然后寫出直線A'B'的方程即為所求。解法二和解法三中，都用到了求一個點P關(guān)于某直線l的對稱點P₀的問題。這個問題的解法就是根據(jù)：①直線P₀P與直線l垂直；②線段P₀P的中點在直線l上，列出方程組解出x₀、y₀，代入x₀、y₀所滿足的方程，整理即得所求直線的方程。

　 例4.

截距相等的直線方程。

　　 解法一：

　　

　　 ∴兩已知直線的交點為(－4，3)。

　　 當(dāng)所求直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是0時，直線的橫截距、縱截距相等。

　　

　　

　　

　　 因為點(－4，3)在直線x+y=a上，

　　

　　

　　

　　 解法二：

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　 小結(jié)：解法一設(shè)直線的截距式時注意了截距為0的情形。故而沒有直接設(shè)成

　 例5.

列條件的a、b的值。

　　 (1)直線l₁過點(－3，－1)，并且直線l₁與直線l₂垂直；

　　 (2)直線l₁與直線l₂平行，并且坐標(biāo)原點到l₁、l₂的距離相等。

　　 分析：考查直線與直線平行及垂直的問題的處理方法。

　　 解：

　　

　　 又點(－3，－1)在l₁上，

　　

　　 由①、②解得a=2，b=2。

　　 (2)∵l₁∥l₂且l₂的斜率為1－a。

　　 ∴l₁的斜率也存在，

　　

　　 故l₁和l₂的方程可分別表示為

　　

　　

　　 ∵原點到l₁和l₂的距離相等，

　　

　　

　　 小結(jié)：在(2)中由于l₁∥l₂，l₂有斜率，從而得出l₁有斜率，即b≠0。

　 例6.

最小值時x的值。

　　 解：

　　　　　　　

　　 它表示點P(x，0)與點A(1，1)的距離加上點P(x，0)與點B(2，2)的距離之和，即在x軸上求一點P(x，0)與點A(1，1)、B(2，2)的距離之和的最小值。

　　 由下圖可知，轉(zhuǎn)化為求兩點A'(1，－1)和B(2，2)間的距離，其距離為函數(shù)f(x)的最小值。

　　

　　

　　

　　 小結(jié)：數(shù)形結(jié)合是解析幾何最根本的思想，因此本題聯(lián)系圖形求解，使解法直觀、簡捷而且準(zhǔn)確，易于入手。

　 例7. 用解析法證明：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高。

　　 證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系，

　　 A(a，0)，B(0，b)，C(－a，0)，(a＞0，b＞0)，

　　

　　

　　 設(shè)底邊AC上任意一點為P(x，0)(－a≤x≤a)，

　　

　　

　　

　　

　　 ∴原命題得證。

　 例8. 等腰直角三角形斜邊所在直線的方程是3x－y＝0，一條直角邊所在直線l經(jīng)過點(4，－2)，且此三角形的面積為10，求此直角三角形的直角頂點的坐標(biāo)。

　　 解：設(shè)直角頂點為C，C到直線y=3x的距離為d，

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　 例9.

　　 (1)求證：不論m為何實數(shù)，直線l恒過一定點M；

　　 (2)過定點M作一條直線l₁，使l₁夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點平分，求l₁的方程；

　　 (3)若直線l₂過點M，且與x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸圍成的三角形面積最小，求l₂的方程。

　　 解：

　　

　　

　　 它與x軸、y軸分別交于A(a，0)，B(0，b)。

　　 ∵M(jìn)為AB中點，由中點坐標(biāo)公式得a=－2，b=－4，

　　

　　

　　

　　

　　 當(dāng)且僅當(dāng)k＝－2時，圍成的三角形面積最小，

　　

[模擬試題]

1. 已知直線l經(jīng)過點P(5，10)，且原點到它的距離為5，則直線l的方程為_________。

2. ，則點P(1，1)到直線的最大距離是______________。

3. 已知點P(1，)到直線，則_____________。

4. 如圖，已知正方形ABCD的中心為E(－1，0)，一邊AB所在的直線方程為，求其他三邊所在直線的方程。

5. 求平行線的距離。

6. 求過點A(－1，2)且與原點的距離為的直線方程。

7. 求過點P(1，2)且被兩平行直線截得的線段長為的直線方程。

8. 求過點P(0，2)且與點A(1，1)，B(－3，1)等距離的直線l方程。

9. 原點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)是(　　 )

　　 A. 　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　 C. 　　　　　 D. (4，3)

(1991年全國高考題)