直線

(一)直線的傾斜角()和斜率()

1. 定義　 傾斜角范圍　　 斜率：

2. 與的關(guān)系：

注：準(zhǔn)確地把握這兩個(gè)概念，關(guān)注斜率不存在帶來的問題。

[例] (1)直線的斜率　　　 ，傾斜角　　　 。

(2)若，則直線的斜率　　　 ，傾斜角　　　　 。

拓展：取消的限制，結(jié)論如何。

(3)直線L過點(diǎn)且與以，為端點(diǎn)的線段PQ相交，則斜率的取值范圍　　　　 ，傾斜角的取值范圍　　　　 　。

(4)若，則　　　　　 。

(5)若時(shí)，則　　　　　 。

答案：(1)；　　 (2)；

(3)；

(4)　　 (5)

(二)直線方程

1. 直線方程的五種形式及適用范圍

(1)斜截式：　 不含與軸垂直的直線

(2)點(diǎn)斜式：　 不含與軸垂直的直線

(3)兩點(diǎn)式：　　 不含與軸、軸垂直的直線

(4)截矩式：　　 不含過原點(diǎn)和與軸、軸垂直的直線

(5)一般式：　 無限制(可表示任何直線)

注：兩點(diǎn)式的“改良”　 可表示任何直線。

2. 直線系：

(1)平行直線系：　 (為待定系數(shù)，斜率已知)

(2)過定點(diǎn)直線系：　 (為待定系數(shù)，點(diǎn)為已知)

(3)過兩直線交點(diǎn)的直線系：已知；，則　 (為參數(shù)--待定系數(shù))

L是過與交點(diǎn)的直線系　 (不含)

若，則L是與與平行的直線系。

注：(1)與已知直線平行的直線系：(為參數(shù))

(2)與已知直線垂直的直線系：(為參數(shù))

(三)兩條直線的位置關(guān)系

1. 判定兩條直線的位置關(guān)系(三種：相交、平行、重合)

設(shè)；　　

；

(1)或僅有一個(gè)不存在

或一個(gè)為零一個(gè)不存在

(2)且或均不存在且

(3)與重合且或均不存在且

[例題] 已知兩直線；，當(dāng)為何值時(shí)，與(1)相交(2)平行(3)重合

解：當(dāng)時(shí)，則　　 ∴

(1)當(dāng)時(shí)，；　 ∴

(2)當(dāng)時(shí)，；　 ∴

(3)當(dāng)時(shí)，；　 ∴ 重合

(4)當(dāng)，，時(shí)，相交。

說明：時(shí)，與平行或重合相交且只有有數(shù)幾個(gè)值應(yīng)先分析。

2. 兩條直線所成的角(夾角)與直線到的角

夾角：　　 到的角：

3. 點(diǎn)到直線的距離：

到的距離為；到的距離為，兩條平行線；，則與的距離

(四)對(duì)稱性問題(專題)方法--相關(guān)點(diǎn)法

1. 對(duì)稱分兩大類

(1)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱：點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)

(2)關(guān)于直線軸對(duì)稱：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則解出的值為：

2. 常用對(duì)稱的規(guī)律：已知點(diǎn)，直線

(1)關(guān)于X軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)；

(2)關(guān)于Y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)；

(3)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；

(4)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；

(5)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；

(6)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；

(7)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；

(8)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；

(9)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；

(10)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；

思考：我們注意到只須將對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)Q代入直線L即得對(duì)稱的直線方程，為什么？

它們的理論依據(jù)是什么？--“相關(guān)點(diǎn)法”

我們以(9)題為例，即求直線，關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程。

解：設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)

關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)

則　 ∴ 　　∴

∵ 　　∴ 　即：

點(diǎn)撥：① 代入對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的理論依據(jù)是“相關(guān)點(diǎn)法”

② 有關(guān)對(duì)稱性問題都可用“相關(guān)點(diǎn)法”求對(duì)稱曲線。

(五)線性規(guī)劃

1. 二元一次不等式表示平面區(qū)域

(1)二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線

一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，直線應(yīng)畫成虛線，表示直線另一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，畫不等式。所表示的平面區(qū)域時(shí)，應(yīng)把邊界直線畫成實(shí)線。

(2)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式表示的平面點(diǎn)集的交集即各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。

快捷判斷法：

(1)代點(diǎn)檢驗(yàn)法　　

(2)直線上半平面為的區(qū)域；下半平面為的區(qū)域

2. 線性規(guī)劃

(1)對(duì)于變量的約束條件，都是關(guān)于的一次不等式，稱為線性約束條件，是欲達(dá)到最值所涉及的變量的解析式，叫做目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)是關(guān)于的一次解析式時(shí)，叫做線性目標(biāo)函數(shù)。

(2)求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最值問題稱為線性規(guī)劃問題，滿足線性約束條件的解稱為可行解。由所有解組成的集合叫可行域，使目標(biāo)函數(shù)取得最值的可行解叫最優(yōu)解。

3. 求解線性規(guī)劃問題的步驟是：(1)根據(jù)實(shí)際問題的約束條件列出不等式；(2)作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。

[模擬試題](答題時(shí)間：45分鐘)

1. 直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為(　　 )

A. 　　B. 　　C. 　　D.

2. 若直線與直線平行，則在兩坐標(biāo)軸上截距之和為(　　 )

A. 　　B. 　　C. 　　D.

3. 過原點(diǎn)，且與直線成角的直線方程為(　　 )

A. 　　　B. 　　　C. 或　　 D.

4. 已知為直線和所成的角，則當(dāng)取最大值時(shí)，實(shí)數(shù)值為(　　 )

A. 　　B. 或　　 C. 或　　 D. 或

5. 三條直線；；不能圍成三角形，則取值的個(gè)數(shù)為(　　 )

A. 　　B. 　　C. 　　D.

6. 直線過點(diǎn)，且與以和為端點(diǎn)的線段相交，則斜率取值范圍為(　　 )

A. 　　　B. 　　C. 　　D. 以上都不對(duì)

7. 將直線沿軸正向平移2個(gè)單位，再沿軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，又回到了原來的位置，則的斜率為(　　 )

A. 　　B. 　　　C. 　　　D.

8. 已知點(diǎn)和分別是直線上和外的點(diǎn)，若方程為，則方程表示(　　 )

A. 與重合的直線　　　　　 B. 過且與垂直的直線

C. 過且與平行的直線　　 D. 不過但與平行的直線

9. 已知點(diǎn)，，P點(diǎn)在直線上，使最大，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(　　 )

A. 　　　B. 　　C. 　　D.

10. 若方程表示一條直線，則實(shí)數(shù)滿足(　　 )

A. 　　　　　　　　B. 或　

C. 或　　 D. 或

11. 曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程為(　　 )

A. 　　　　　　B. 　

C. 　　　　D.

12. 函數(shù)一條對(duì)稱軸為，則傾斜角為(　　 )

A. 　　B. 　　　C. 　　　D.

13. 直線與及坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則值為(　　 )

A. 　　B. 　　C. 　　D.

14. 中，，且，則A點(diǎn)軌跡方程為(　　 )

A. 　　　　B.

C. 　　　　D.

15. 已知；，則、和軸圍成三角形面積最小值為　　　　　 。

16. 過點(diǎn)，的直線與直線交于P點(diǎn)，則P點(diǎn)分的比為

　　　　 。

17. 由確定的可行域中，橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有　　　　 個(gè)。

18. 已知集合，，且，則中元素個(gè)數(shù)為　　　　 。

19. 過點(diǎn)作交正半軸于A，作交正半軸于B，若，且AB恰平分四邊形OAMB面積，求直線AB方程。

20. 一化工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，生產(chǎn)成本為20元/，出廠價(jià)為50元/，每生產(chǎn)1該產(chǎn)品產(chǎn)生的污水，有兩種處理方式：直接排入河流或輸送到污水處理廠。環(huán)保部門對(duì)排入河流污水收費(fèi)為15元/，污水處理廠對(duì)污水收費(fèi)為5元/，但只能凈化污水的，未凈化污水仍排入河流，且排放費(fèi)仍由廠家付給，若污水處理廠處理污水最大能力為/分鐘，環(huán)保部門允許該化工廠污水排入河流最大排放量為/分鐘，問該化工廠每分鐘生產(chǎn)多少產(chǎn)品，每分鐘直接排入河流污水為多少時(shí)純利潤最高？