直線的傾斜角和斜率、直線的方程

1. 重點：

　　 直線的傾斜角和斜率的概念、直線方程的幾種重要形式。

2. 難點：

斜率的概念的學習，過兩點直線的斜率公式的建立，直線方程的應(yīng)用。

[典型例題]

[例1](1)已知M(，3)，N(2，15)若直線的傾斜角是MN的一半，求的斜率

解：

設(shè)的傾斜角為　

∴ 　　　　∴ 　　

∵ 　　∴

(2)過P(，)的直線與軸的正半軸沒有公共點，求的傾斜角的范圍。

解：　 ∴ 　　∴

(3)若直線的斜率則直線的傾斜角的取值范圍是什么？

解：∵ 　　∴

[例2] 過點P(1，4)作直線與兩坐標軸正向相交，當直線在兩坐標軸上的截距之和最小時，求直線方程。

解：設(shè)(，)

∵ 過P(1，4)　 ∴

∴

當　　 ∴ 時，

∴ 　　即

[例3] 在中，A(2，8)，B(，0)，C(5，0)求過B且將面積分成的直線方程。

解：設(shè)交AC于P點，則(1)；(2)

(1)當時，P(，)滿足

∴ ：　 即

(2)當時，P(x，y)滿足

∴ ：　 即

[例4] 設(shè)P₁(x₁，y_1­)，P_2­(，)：，求與直線的交點P(不過P₂)分的比。

解：設(shè)P分的比為，則P(，)

∵ 　　∴

∴

∵ 　　∴

當時，P₁，P₂在同側(cè)　　 當時，P₁，P₂在異側(cè)

[例5] 過點(，)作一直線，使它與兩坐標軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5個平方單位，求直線的方程。

解：設(shè)直線的方程為

∵ 過點(，)　 ∴ 　　即

又直線與兩坐標軸圍成三角形面積為5

∴ 　　則

∴ 　　∴ 或

∴ 的方程為：或

[例6] 求經(jīng)過點A(，)且在坐標軸上截距為相反數(shù)的直線的方程。

解：

(1)當在坐標軸上截距都不為零時，設(shè)方程為

將A(，)代入上式有，解得

∴ 所求直線方程為

(2)當在坐標軸上的截距都為零時，設(shè)其方程為

將A(，)代入方程得，即　 ∴ 　

即

[例7] 已知的一個頂點A(，2)兩條中線所在直線方程為和，求各邊所在直線的方程。

解：∵ A(，2)不在這兩條中線上　　

∴ 這兩條中線應(yīng)是邊AB和AC上的中線

解得　　 ∴ 的重心G(，2)

設(shè)B(，)C(，)　 則　

∴

不妨設(shè)B在中線上，點C在中線上

∴ 　聯(lián)立(1)(2)(3)(4)解得

即B(2，4)C(4，0)

∴ AB邊所在直線方程為即

AC邊所在直線方程為即

BC邊所在直線方程為即

若調(diào)換B、C的位置，則BC邊所在直線的方程不變，AB與AC的方程互換

[例8] 過定點P(2，1)作直線，分別與軸、軸正向交于A、B兩點，求使面積最小時的直線方程。

解：顯然所求的斜率存在且小于0，設(shè)其為()則為

令得A(，0)令得B(0，)

∴

其中，

當且僅當　 即時，的最小值為4

此時的最小值為

∴ 所求直線方程為即

[模擬試題](答題時間：60分鐘)

1. 已知直線的傾斜角為，則直線的斜率是(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 　　D.

2. 已知的斜率，那么的傾斜角為(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 　　　D.

3. 直線的傾斜角的正弦值為，則的斜率是(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 　　D.

4. 若直線過(，9)，(，)兩點，則的傾斜角為(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 　　D.

5. 已知A(，)，B(3，0)且AB的斜率為，則的值是(　　 )

　　 A. 1　　 B. 　　C. 　　D. 0

6. 直線的傾斜角為，且，則的斜率的范圍是(　　 )

A. 　　　　　　　　　 B. 　　

C. 或　　 　　　　 D. 或

7. 已知一直線傾斜角為，且直線過(，)則直線方程為(　　 )

A. 　　　　　 B. 　　

C. 　　　　　　　　　 D.

8. 經(jīng)過兩點(，1)，(3，9)的直線在軸上的截距是(　　 )

　　 A. 　　B. 　　　C. 　　　D. 2

1. 經(jīng)過二、三、四象限，的傾斜角為，斜率為，則的取值范圍是　　　 。

2. 在軸上的截距為，且與軸相交成角的直線方程為　 　　　　。

3. 若方程表示一條直線，則　　　 。

4. 已知直線在軸上的截距為3，則在軸上的截距為　　　 。

1. 過P(，)的直線與軸，軸分別交于A、B兩點，若P恰為線段AB的中點，求直線的斜率和傾斜角。

2. 已知與的傾斜角相等，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為24，求的方程。

3. 過點P(4，2)作分別交軸，軸正半軸于A、B兩點，當面積最小時，求直線的方程。