直線方程
[知識(shí)點(diǎn)]
1. 直線方程兩點(diǎn)式:
方程?
解:
注意:(1)特殊情況:x=x1或y=y(tǒng)1不能用兩點(diǎn)式表示,即與x軸平行或與x軸垂直的直線不能用兩點(diǎn)式表示,故平面上的直線與兩點(diǎn)式方程不是一一對應(yīng)。
(2)兩點(diǎn)式變形形式:(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1)
此方程與平面上的直線一一對應(yīng)。
2. 直線方程的截距式:
公式推導(dǎo):已知直線與x軸交于A(0,a)與y軸交于B(b,0),其中(a≠0,b≠0)求直線l的方程。
注意:(1)特殊情況:當(dāng)a=0或b=0時(shí)不能用上式,即過原點(diǎn)或與x軸平行或與y軸平行的直線不能用截距式。
(2)截距式是兩點(diǎn)式的特殊情況。
3. 直線方程的一般式:
適用范圍:平面直角坐標(biāo)系中,任何一條直線都可由一般式表示出來。
4. 關(guān)于直線方程形式間的互化方法。
[典型例題]
例1. 已知直線過點(diǎn)P(-5,-4),且與兩坐標(biāo)軸圍成三角形面積為5,求直線l的方程。
解:
例2. 如圖,已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B。
(1)求三角形AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程。
(2)求直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和的最小值及此時(shí)直線的方程。
解:(1)法一:設(shè)A(0,a),B(b,0)(a>0,b>0)
法二:
法三:
∵a為實(shí)數(shù),∴△≥0
法四:過P分別作x軸、y軸的垂線PM、PN(M、N為垂足),并設(shè)θ=∠PAM=∠BPN
(2)法一:
法二:
例3. 已知直線mx+ny+12=0在x軸、y軸上的截距分別是-3和4,求m,n的值。
分析:(1)將直線方程化成截距式后(或直接)求出直線在兩軸上的截距、解關(guān)于m,n的方程組。(2)由已知條件,直線經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)、B(0,4),由此得m,n的方程組,解之即可。
解法1:由截距意義知,直線經(jīng)過A(-3,0)和B(0,4)兩點(diǎn),因此有
解法2:將方程mx+ny+12=0化為截距式,得:
例4.
解析:
例5.
距離相等。
分析:(1)設(shè)P(x,y),則有y=3x+1,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,3x+1),由距離公式得x的方程,解得x=0。
(2)設(shè)P(x,y),求出兩點(diǎn)(1,-1),(2,0)的中垂線方程為x+y-1=0,再解方程組得P(0,1)。
解法1:設(shè)P(x,y),則有y=3x+1
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,3x+1)
解之得:x=0
∴所求的點(diǎn)為P(0,1)
解法2:設(shè)P(x,y),兩點(diǎn)(1,-1),(2,0)所連線段的中垂線方程為:
解由<1>、<2>組成的方程組得:P(0,1)
例6.
(1)證明直線l過定點(diǎn);
(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于B,△AOB的面積為S,求S的最小值,并求此時(shí)直線l的方程;
(3)若直線不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍。
分析:(1)證直線系過定點(diǎn),可用分離參數(shù)法。
(2)求△AOB面積S的最小值,應(yīng)先求出目標(biāo)函數(shù)S=f(k),再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征選擇最小值的求法。
(3)直線不經(jīng)過第四象限的充要條件是:直線在x軸上的截距小于或等于-2,在y軸上的截距大于或等于1。或由直線經(jīng)過定點(diǎn)(-2,1)知斜率大于或等于零。
解:(1)直線l的方程是:
∴無論k取何值,直線總經(jīng)過定點(diǎn)(-2,1)
(2)由l的方程,得:
解得:k>0
解之得:k>0
小結(jié):本題證明直線系過定點(diǎn)問題所使用的“分離參數(shù)法”,也是證明曲線系過定點(diǎn)的一般方法。
例7.
分析:利用所求直線上任意一點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)P’在已知直線上的關(guān)系求解。
解:設(shè)P(x,y)為所求直線上任一點(diǎn),則:
∵線段PP’的中點(diǎn)為A(1,-1)
注意:本題是一個(gè)關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的求法問題,要注意利用點(diǎn)對稱的特點(diǎn)求解。
例8. 一根彈簧掛6公斤的物體時(shí),長11 cm,掛9公斤的物體時(shí),長17 cm。已知彈簧長度l (cm)和所掛物體的重量w(公斤)的關(guān)系可以用直線方程來表示。用兩點(diǎn)式表示這個(gè)方程,并根據(jù)這個(gè)方程,求彈簧長為13 cm時(shí)所掛物體的重量。
解:以O(shè)w為橫坐標(biāo)軸,以O(shè)l為縱坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)
由題意知直線過點(diǎn)(6,11)和點(diǎn)(9,17)
由直線的兩點(diǎn)式方程得所求直線的方程為:
∴w=7
即彈簧長為13 cm時(shí)所掛物體的重量為7公斤。
小結(jié):因?yàn)閺椈砷Ll和所掛物體的重量w的關(guān)系可以用直線方程來表示,并且彈簧掛6公斤的物體時(shí),長11 cm;彈簧掛9公斤的物體時(shí),長17 cm。所以直線過點(diǎn)(6,11)和(9,17)。由直線方程的兩點(diǎn)式求出l、w關(guān)系,得解。
例9.
解:
小結(jié):由直線方程的一般式求直線的傾斜角時(shí),須先求其斜率,這時(shí)通常把直線方程化成斜截式(若直線沒有斜率即y的系數(shù)為0,則直線的傾斜角為90°,此時(shí)直線方程沒有斜截式),然后根據(jù)斜率再求直線的傾斜角。當(dāng)直線的斜率k≥0時(shí),直線的傾斜角為arctank;當(dāng)直線的斜率k<0時(shí),直線的傾斜角為π+arctank。
例10.
證明:如圖所示,過P(x1,y1)作直線垂直于x軸,交直線l于M
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y2),則:
∵P在M的上方
小結(jié):
點(diǎn)P在直線的上方或下方就是指在同橫坐標(biāo)時(shí),P的縱坐標(biāo)大于或小于直線上的點(diǎn)對應(yīng)的縱坐標(biāo)。
[模擬試題]
1. 直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是( )
A. B. C. D.
2. 過點(diǎn)A(4,1)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
3. 已知直線的橫截距大于縱截距,則A、B、C應(yīng)滿足的條件是( )
A. A>B B. A<B
C. D.
4. 直線的圖象只可能是下圖中的( )
5. 直線在x軸上的截距為a,在y軸上的截距為b,則a、b的值是( )
A. B.
C. D.
6. 若直線的傾斜角為且過點(diǎn)(1,0),則直線的方程為________。
7. 由已知條件求下列直線的斜截式方程。
(1)直線經(jīng)過點(diǎn);
(2)直線在x軸上的截距為2,在y軸上的截距為。
8. 設(shè)直線的方程為,根據(jù)下列條件分別確定實(shí)數(shù)m的值。
(1)在x軸上的截距是;
(2)斜率是1。
9. 過點(diǎn)P(2,1)作直線交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn),當(dāng)取最小值時(shí),求直線的方程。
10. 已知直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3,且在x軸和y軸上的截距之和為5,求這樣的直線的條數(shù)。
11. 已知點(diǎn)P(-1,1)、Q(2,2),直線與線段PQ相交,求實(shí)數(shù)k的范圍。
直線方程參考答案
[試題答案]
1. D
解析:在方程中
令得;
令得。
∴直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是:
2. C
解析:設(shè)過點(diǎn)A(4,1)的直線的方程為
令,得;
令,得。
由已知得:
或
∴所求直線的方程為或(此題也可用直線方程的截距式求,但需討論)。
3. 解析:由條件知:A.B.C≠0
在方程中,
令,得;
令,得
由得:
4. B
解析:由得
由得
下面用排除法,在A選項(xiàng)中,由的圖象知,判斷知的圖象不符合。
在B選項(xiàng)中,由的圖象知,判斷知的圖象符合,所以應(yīng)選B。
5. D
解析:在方程中分別令,得:
6.
解析:∵直線的傾斜角為
∴直線的斜率,由點(diǎn)斜式得直線的方程為:
,即
7. 分析:先根據(jù)已知條件寫出直線的方程,再化成直線的斜截式方程。
解:(1)直線的兩點(diǎn)式方程為:
化為斜截式方程為
(2)直線截距式方程為
化為斜截式方程為
8. 解:(1)在中,
令,得
由題意知:
解得:(舍去)為所求。
(2)因?yàn)橹本€的斜率為1,所以
解得:為所求(舍去)
9. 解:設(shè)直線的方程為
分別令得:
∵k<0,∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值4
故所求直線的方程為
10. 解:設(shè)直線的截距式方程為
由題意得:
即或
由解得:
由解得:
故所求直線有4條。
11. 解:∵直線的縱截距為
∴直線過點(diǎn)M(0,-1)
∵與線段PQ相交
點(diǎn)評(píng):由于直線過定點(diǎn)M(0,-1),所以問題轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線與線段PQ相交。此類題可用數(shù)形結(jié)合法解決。在找邊界時(shí)注意轉(zhuǎn)動(dòng)直線,觀察其傾斜角的變化。