[例1] (07年廣東)已知函數(shù)
的定義域為M，g(x)=
的定義域為N，則M∩N=
(A)
(B)
(C)
(D)
[解析] M={x|x<1},N={x|x>-1},M∩N={x|-1<x<1}.答案為C.
[說明] 考查了函數(shù)的定義域.
[例2] (07年全國)設(shè)
，函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值與最小值之差為
，則
( )
A．
B．
C．
D．
[解析] 
.答案為D.
[說明] 對數(shù)函數(shù)的最值問題.
[例3](07年安徽)下列函數(shù)中，反函數(shù)是其自身的函數(shù)為 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
[解析]在下列函數(shù)中，反函數(shù)是其自身的函數(shù)為，選D.
[說明] 考查了反函數(shù)的求法.
[例4] (07年安徽)定義在R上的函數(shù)
既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，
是它的一個正周期.若將方程
在閉區(qū)間
上的根的個數(shù)記為
，則可能為
(A)0 (B)1 (C)3 (D)5
[解析]
，
，
∴
，則可能為5，選D。
[說明] 此題有函數(shù)的奇偶性，周期性，還和方程的根聯(lián)系在一起.有一定的綜合性.
[例5](07年北京)對于函數(shù)①f(x)=lg(|x-2|+1),②f(x)=(x-2)2,③f(x)=cos(x+2),判斷如下三個命題的真假：
命題甲：f(x+2)是偶函數(shù)；
命題乙：f(x)在(-∞，2)上是減函數(shù)，在(2，+∞)上是增函數(shù)；
命題丙：f(x+2)-f(x)在(-∞，+∞)上是增函數(shù).
能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號是
A．①③ B.①②
C.③ D.②
[解析] ①不滿足丙，排除A、B.③不滿足甲，C排除.
答案為D.
[說明] 三個函數(shù)綜合在一塊考查了它們性質(zhì)，可謂是題小量不小啊.
[例6](07年廣東)客車從甲地以60km/h的速度行駛1小時到達(dá)乙地，在乙地停留了半小時，然后以80 km/h的速度行駛1小時到達(dá)丙地，下列描述客車從甲地出發(fā)，經(jīng)過乙地，最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的路程s與時間t之間的關(guān)系圖象中，正確的是 ( )
|
|
|
|
[解析] 客車共走140 km,用時2.5 h，因此排除A、D，而B中在乙地休息時沒有顯示出來.答案為C.
[說明] 此題以圖象說明路程-時間的關(guān)系，只要圖看仔細(xì)了，應(yīng)該不會出錯.屬于低難度題.
[例7](07年湖北)為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行
消毒. 已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥
量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，
y與t的函數(shù)關(guān)系式為
(a為常數(shù))，
如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：
(Ⅰ)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含
藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式
為 .
(Ⅱ)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低
到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室，那從藥物釋放
開始，至少需要經(jīng)過 小時后，學(xué)生才能回到教室.
[分析](Ⅰ)兩曲線交于點(0.1，1)，故t∈(0，0.1]時，y=10t；t∈[0.1，+∞)時，將(0.1，1)代入，得
故所求函數(shù)關(guān)系為：
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：當(dāng)t∈[0.1，+∞)時，y為t的減函數(shù).
令
.即
小時，也就是36分鐘后，學(xué)生才能回到教室.
[說明] 此題考查了數(shù)學(xué)建模在實際問題上的應(yīng)用.有一定的區(qū)分度.
[例8]
(07年北京) 如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長
為
，短半軸長為
，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下
底
是半橢圓的短軸，上底
的端點在橢圓上，記
，梯形面積為
．
(I)求面積以
為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；
(II)求面積的最大值．
[解答](I)依題意，以的中點
為原點建立直角坐標(biāo)系
(如圖)，則點
的橫坐標(biāo)為．點的縱坐標(biāo)
滿足方程
，
解得，
，
所以，
，定義域為
．
(II)記
，
則，
．
令
，得
．
因為當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
，
所以
是的最大值．
因此，當(dāng)時，也取得最大值，最大值為
．
即梯形面積的最大值為
．
[說明] 該題以橢圓為載體，以函數(shù)思想為靈魂，以不等式、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等為工具，非常自然地將解析幾何與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)等重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識有機(jī)交匯融為一體，無矯揉造作之嫌，是近年來較為成功的試題之一．
[例9] (07年上海) 已知函數(shù)
，常數(shù)
．
(1)討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
(2)若函數(shù)在
上為增函數(shù)，求
的取值范圍．
[解答] (1)當(dāng)
時，
，
對任意
，
，
為偶函數(shù)．
當(dāng)
時，
，
取
，得
，
，
函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
(2)解法一：設(shè)
，
，
要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須
恒成立．
，即
恒成立．
又
，
．
的取值范圍是
．
解法二：當(dāng)時，，顯然在
為增函數(shù)．
當(dāng)
時，反比例函數(shù)
在為增函數(shù)，
在為增函數(shù)．
當(dāng)
時，同解法一．
[說明] 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)問題，尤其是單調(diào)性的定義法證明更要引起注意.