例1．已知，求(1)；(2)的值.
解：(1)；
(2)
.
說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到)，進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。
例2．求函數(shù)的值域。
解：設(shè)，則原函數(shù)可化為
，因為，所以
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，函數(shù)的值域為。
例3．已知函數(shù)。
(1)求的最小正周期、的最大值及此時x的集合；
(2)證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。
解：
(1)所以的最小正周期，因為，
所以，當(dāng)，即時，最大值為；
(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，只要證明對任意，有成立，
因為，
，
所以成立，從而函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。
例4． 已知函數(shù)y=cos2x+sinx.cosx+1
(x∈R),
(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；
(2)該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？
解：(1)y=cos2x+sinx.cosx+1= (2cos2x－1)+ +(2sinx.cosx)+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x.sin+sin2x.cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值時，只需2x+=+2kπ,(k∈Z)，即 x=+kπ,(k∈Z)。
所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時，自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}
(2)將函數(shù)y=sinx依次進行如下變換：
(i)把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；
(ii)把得到的圖像上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；
(iii)把得到的圖像上各點縱坐標(biāo)縮短到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；
(iv)把得到的圖像向上平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。
綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。
說明：本題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一個三角函數(shù)的二次三項式。本題(1)還可以解法如下：當(dāng)cosx=0時，y=1；當(dāng)cosx≠0時，y=+1=+1
化簡得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤
∴ymax=，此時對應(yīng)自變量x的值集為{x|x=kπ+,k∈Z}
例5．已知函數(shù)
(Ⅰ)將f(x)寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；
(Ⅱ)如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域.
解：
(Ⅰ)由=0即
即對稱中心的橫坐標(biāo)為
(Ⅱ)由已知b2=ac
即的值域為.
綜上所述， ， 值域為 .
說明：本題綜合運用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，對知識進行整合的能力。
例6．在中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，
(1)求的值；
(2)若，且a=c，求的面積。
解：(1)由正弦定理及，有，
即，所以，
又因為，，所以，因為，所以，又，所以。
(2)在中，由余弦定理可得，又，
所以有，所以的面積為
。
例7．已知向量
，且，
(1)求函數(shù)的表達式；
(2)若，求的最大值與最小值。
解：(1)，，，又，
所以，
所以，即；
(2)由(1)可得，令導(dǎo)數(shù)，解得，列表如下：
t
－1
(－1，1)
1
(1，3)
導(dǎo)數(shù)
0
－
0
+
極大值
遞減
極小值
遞增
而所以。
例8．已知向量，
(1) 求的值；
(2) (2)若的值。
解：(1)因為
所以
又因為，所以，
即；
(2) ，
又因為，所以
，
，所以，所以
例9．平面直角坐標(biāo)系有點
(1)
求向量和的夾角的余弦用表示的函數(shù)；
(2)
求的最值.
解：(1)，
即
(2) ， 又 ，
， ，
.
說明：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時要時刻注意。
