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9.函數(shù)的奇偶性。
(1)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征:定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱!為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí),務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
(2)確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡(jiǎn),再判斷其奇偶性):①定義法:
②利用函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式:或()。
③圖像法:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。
(3)函數(shù)奇偶性的性質(zhì):
①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反.
②如果奇函數(shù)有反函數(shù),那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).
③若為偶函數(shù),則.
④若奇函數(shù)定義域中含有0,則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。
⑤定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù),都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和(或差)”。
⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是:“內(nèi)偶則偶,內(nèi)奇同外”.
⑦既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)(,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集).
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