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13．已知函數(shù)f(x)=|x2－2ax+b|(x∈R)。給出下列命題：
①f(x)必是偶函數(shù)；
②當(dāng)f(0)=f(2)時，f(x)的圖象必關(guān)于直線x=1對稱；
③若a2－b≤0，則f(x)在區(qū)間[a，+∞]上是增函數(shù)；
④f(x)有最大值|a2－b|。
⑤f(x)有最小值0。
其中正確命題的序號是_________。
高考數(shù)學(xué)沖刺預(yù)測試卷
參考答案
一、選擇題
1．選C。
，
=
，
，p是q的充分必要條件。
點評：本題主要考查集合、解不等式和充要條件的知識，以及分析問題和解決問題的能力。
2．(理)選C。設(shè)z=a+bi，|z|－z=2－4i，則a=3，b=－4，∴z=3－4i．
。
點評：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運算，這是高考的常見題型，應(yīng)注意把握好難度。
(文)選B．∵
，∴
，即
。
，
。
點評：本題主要考查同角的三角函數(shù)的化簡和誘導(dǎo)公式。
3．選D。位置不確定。
點評：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，以及空間想象能力。
4．選C。函數(shù)
以2為周期，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合。
點評：本題主要考查函數(shù)的周期和函數(shù)的圖象，以及數(shù)形結(jié)合的思想。
5．選A。從除e和x外，還有5個不同的字母， 含“ex”的排列數(shù)是
，從7個不同的字母的排列數(shù)是
，故含“at”(“at”相連且順序不變)的概率為
。
點評：本題主要考查古典概率問題及排列與組合的基礎(chǔ)知識。
6．選D。由
的圖象可知，
斜率先增大后減小。
點評：本題主要導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合以及函數(shù)的單調(diào)性。
7．選A。如圖，路燈距地平面的距離為DC，人的身高為EB。設(shè)人從C點運動到B處路程為x米，時間為t(單位：秒)，AB為人影長度，設(shè)為y，則∵BE∥CD，∴
。
∴
，又80 m/min=
1.4 m/s，
∴y=
x=
t(x=t)。
∵y′=，∴人影長度的變化速率為m/s。
點評：本題主要考查有關(guān)射影知識和平面幾何的相似比。
8．選B。
就是
在
上的射影，要求其最大值，就是求點P的橫坐標(biāo)x的最大值，這只需作出
的平面區(qū)域，即可看出x－4y+3=0與3x+5y=25的交點(5，2)就是取最大值時P點的位置。
點評：本題主要考查線形區(qū)域與平面向量的基本知識。
9．選C。設(shè)正三棱錐的高為
，底面正三角形的邊長為
，
，
。
這個棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值=
。
點評：本題主要考查正三棱錐的有關(guān)知識和二面角的平面角的求法。
10．選D。不妨設(shè)F為右焦點，則
。由于
，所以點P在以原點為圓心， 
為半徑的圓上，即
，聯(lián)立
消去x得
，
。
點評：本題主要考查雙曲線與直線、平面向量等基礎(chǔ)知識，以及分析問題的能力。
二、填空題。
11．填
。過P點作PQ⊥AD于Q，再過Q作QH⊥A1D1于H，連PH，利用三垂線定理可證PH⊥A1D1．設(shè)P(x，y)，
∵|PH|2
－ |PH|2 = 1，∴x2 +1－
[(x
)2+y2] =1，化簡得。
點評：本題主要考查立體幾何與解析幾何的軌跡問題，這是高考命題的一個新趨勢。
12．填(
，
)?！?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383776_1/image044.gif">，即
，
，∴
，又∵
，即
，
，∴
，∴
。
點評：本題主要考查同角的三角函數(shù)的化簡，以及兩角和的正弦公式的應(yīng)用，和解三角不等式。
13．填③。當(dāng)a2－b≤0時，f(x)=x2－2ax+b，圖象的對稱軸為x=a，開口向上，③對。
點評：本題主要考查二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)與絕對值等知識。
14．填2×3n－1－1。烷烴的通式為
，設(shè)第n個分子中C原子個數(shù)為an，則an+1=an+2an+2，故an=3n－1(a1+1)－1=2×3n－1－1。
點評：本題主要考查數(shù)學(xué)與化學(xué)知識的綜合，以及遞推數(shù)列的通項的求法。
15．填2?！?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383776_1/image123.gif">，∴
，又
。
點評：本題主要考查函數(shù)的極限以及組合的知識，以及分析問題和解決問題的能力。
三、解答題。
16．解析：(1)∵
，∴
。
∵在
單調(diào)遞增， ∴
。
∴
在恒成立， ∴
。
(2) ∵在單調(diào)遞增，
∵
，
，
，
，
，
，
∴
，
。
∵
，∴
。
綜上：
的解集是
。
點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、三角函數(shù)與平面向量等知識的綜合，以及分析問題和解決問題的能力．平面向量與三角函數(shù)的綜合，是近幾年高考考試的熱點，應(yīng)引起足夠的重視。
17．證明：(I)∵平面PAD⊥平面ABCD，AD為交線，CD⊥AD
平面PAD
平面PAD
又
為正三角形，E為PD中點
平面PCD 6分
(II)(文)作PQ//AB且PQ＝AB，連QB、QC可得AD＝BC＝BQ＝AP＝DP＝CQ
平面PAD，所以
是平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角
平面PAB與平面PDC所成二面角的大小為60° 12分
(理)作
，則F為QC中點，連PF
∴四邊形AEFB是平行四邊形，BF//AE
平面PDC
平面PDC
是BP與平面PDC所成的角
設(shè)PA＝a，則
，
則由直三角形PFB可得
，
。
直線PB與平面PDC所成角的大小為
?！ ?12分
點評：本題主要考查立體幾何的有關(guān)知識，以及分析問題與解決問題的能力。本題也可以采用向量法來處理。
18．解：(Ⅰ)由題意，
…………………2分
，
，
∴
為AF1的三等分點。
……………………………………………3分
，
。
即橢圓方程為
…………………………………………………5分
(Ⅱ)當(dāng)直線DE與x軸垂直時，
，
此時
，四邊形DMEN的面積為
。
同理當(dāng)MN與x軸垂直時，也有四邊形DMEN的面積為?！? 分
當(dāng)直線DE，MN均與x軸不垂直時，設(shè)DE∶
，代入橢圓方程，消去
y得：
設(shè)
∴
，
∴
，
同理，
………………………8分
∴四邊形的面積
，………………………………10分
令
∵
當(dāng)
，且S是以u為自變量的增函數(shù)，
∴
。
綜上可知，四邊形DMEN面積的最大值為2，最小值為
?！?2分
點評：本題主要考查解析幾何的有關(guān)知識，以及分析問題與解決問題的能力。本題也可以采用向量法來處理。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是歷年高考中經(jīng)久不衰的重要題型，應(yīng)復(fù)習(xí)到位，尤其是與平面向量的綜合應(yīng)引起足夠的重視。
19．解：(Ⅰ)考生總?cè)藬?shù)是50，因此表中標(biāo)出的總?cè)藬?shù)也應(yīng)是50，所以a +b+47=50，
故a +b=50－47=3； ………………………………4分
(Ⅱ)從表中可以看出，“政治成績?yōu)?分且英語成績?yōu)?分”的考生人數(shù)為6人，所以其概率為
．
………………………………8分
(Ⅲ)(文)因為若“考生的政治成績?yōu)?分” 與“英語成績?yōu)?分”是相互獨立事件，
所以P(x=4，y=2)= P(x=4).P(y=2)，即
，
解得： b=1，a=2． …………………………………12分
(理)由已知
，解得：a=1，b=2。
………………………………12分
點評：本題主要考查概率與統(tǒng)計的有關(guān)知識，以及分析問題與解決問題的能力。概率與統(tǒng)計的應(yīng)用題是經(jīng)幾年高考應(yīng)用題的熱點題形，應(yīng)引起足夠的重視。
20．解： (1)由題意有f(0)= c=0，fノ(x)=3 x2+2ax+b，且fノ(1)= 3+2a+b=0。
又曲線y=f(x)在原點處的切線的斜率k=fノ(0)= b，而直線y=2x+5到它所成的夾角為45°，
∴1=tan45°= ，解得b=― 3．代入3+2a+b=0得a=0。
故f(x)的解析式為f(x)=x3― 3x。
(2)∵對于任意實數(shù)α和β有2sinα，2sinβ∈[－2，2]。
由fノ(x)=3x2―3=3(x―1) (x+1)可知，f(x)在(－∞，―1]和[1，+∞)上遞增；在[－1，1]遞減。
又f(―2)= ―2，f(―1)= 2，f(1)= ―2，f(2)= 2，
∴f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分別為―2和2。
∴對于任意實數(shù)α和β恒有| f(2sinα)―f(2sinβ)|≤4。
故m≥4，即m的最小值為4。
(3)∵g(x)=x(x3― 3x)+tx2+kx+s= x4+(t―3)x2+kx+s，∴gノ(x)= 4 x3+2(t―3)x+k，
∴要使g(x)在[－3，―2]上遞減，而在[－1，0]上遞增，且存在x0(x0>1)使得g(x)在[1，x0]上遞減，只需在[－3，―2]和[1，x0]上gノ(x)≤0，而在[－1，0]上gノ(x)≥0。
令h(x)= gノ(x)，則hノ(x)= 12 x2+2(t―3)，當(dāng)t―3≥0時，hノ(x)在R上恒為非負，此時顯然不存在這樣的常數(shù)t和k，∴t―3<0。
當(dāng)t―3<0時，g(x)在(－∞，―]和[，+∞)上遞增，而在[―，―]上遞減。
∴要使h(x)在[－3，―2]和[1，x0]上h(x)≤0，而在[－1，0]上h(x)≥0，只需h(―2)= ―32―4 (t―3)+k
即
作出可行域如圖所示，由圖可知，當(dāng)直線t+ k= z過A點時z取得最大值5，當(dāng)直線t+ k= z過B點時z取得最大值―5。
故存在這樣的常數(shù)t和k，其取值范圍為[－5，5]。
點評：本題主要考查解析幾何、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)及不等式的有關(guān)知識，以及分析問題與解決問題的能力。
21．解析：(1)∵
，a，
，
∴
∴
∴
∴
．
∴a＝2或a＝3(a＝3時不合題意，舍去)．∴a＝2．
(2)
，
，由
可得
．∴
．
∴b＝5。
(3)由(2)知
，
， ∴
．
∴
．
∴
，
．
∵
，
．
當(dāng)n≥3時，
．
∴
．
綜上得
．
點評：本題主要考查兩個基本數(shù)列和不等式的有關(guān)知識，以及分析問題與解決問題的能力。解決本題第(1)小題的關(guān)鍵是利用條件
確定
的值，第(2)小題關(guān)鍵是利用二項式定理
=
>1+
進行放縮得到。有關(guān)數(shù)列和不等式的綜合題經(jīng)常出現(xiàn)在高考壓軸題中。