1.已知集合,,,,則p是q的 ( )
A.充分條件,但不是必要條件 B.必要條件,但不是充要條件
C.充分必要條件 D.既不是充分條件,也不是必要條件
2.(理) z∈C,若|z|-=2-4i,則的值是( )
A.1 B.-1 C.i D.- i
(文) 若,則用a表示sin40°的結(jié)果為 ( )
A. B. C. D.
3.已知直線、及平面,,,則與的位置關(guān)系為 ( )
A.與相交,不垂直 B.
C. D.以上三種情況都有可能
4.若偶函數(shù)y=f(x)(R)滿足f(x+2)= f(x),且x∈(-1,0)時,,則函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)圖象的交點的個數(shù)為 ( )
A.3 B.4 C.6 D.8
5.從單詞“exclaim”中選取5個不同的字母排成一排,則含“ex”(“ex”相連且順序不變)的概率為( )
A. B. C. D.
6.f’(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),f’(x)的圖象如圖所示,則f(x)的圖象只可能是( )
A B C D
7.路燈距地平面為8m,一個身高為1.75m的人以80m/min的速率從路燈在地面上的射影點C處,沿某直線離開路燈,那么人影長度的變化速率為v為( )
A. B. C. D.
8.已知點P(x,y)的坐標滿足,設(shè)A(6,0),則(O為坐標原點)的最大值為( )
A.3 B.5 C.4 D.1
9.過底面邊長為1的正三棱錐的一條側(cè)棱和高作截面,如果這個截面的面積為,那么這個棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值為 ( )
A.1 B.2 C.4 D.
10.雙曲線的一個焦點為F,點P在雙曲線上,且(O為坐標原點),則△OPF的面積S=( )
A.1 B. C.4 D.
第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)
11.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點M在A上,且AM=AB,點P在平面ABCD上,且動點P到直線A1D1的距離的平方與P到點M的距離的平方差為1,在平面直角坐標系xAy中,動點P的軌跡方程是 。
12.在△ABC中,內(nèi)角A滿足,且,則A的取值范圍是_________。
13.已知函數(shù)f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R)。給出下列命題:
①f(x)必是偶函數(shù);
②當(dāng)f(0)=f(2)時,f(x)的圖象必關(guān)于直線x=1對稱;
③若a2-b≤0,則f(x)在區(qū)間[a,+∞]上是增函數(shù);
④f(x)有最大值|a2-b|。
⑤f(x)有最小值0。
其中正確命題的序號是_________。
14.一烷烴起始物的分子結(jié)構(gòu)式是,將其中的所有氫原子用甲基取代得到:,再將其中的12個氫原子全部用甲基代換,如此循環(huán)以至無窮,球形烷烴分子由小到大成一系列,則在這個系列中,由小到大第n個分子中含有的碳原子的個數(shù)是_______。
15.(文)已知(其中,且),設(shè),函數(shù),在x=1處有極限,則實數(shù)a的值是 。
(理)已知(其中,且),設(shè),函數(shù),在x=1處連續(xù),則實數(shù)a的值是 。
16.(本小題滿分12分)
已知三次函數(shù)在單調(diào)遞增。
(1)求實數(shù)a的取值范圍。
(2)設(shè)向量(-sinx,2),(-2sinx,),(cos2x,1),(1,2),當(dāng)[0,]時,求不等式f(a.b)>f(c.d)的解集.
17.(本小題滿分12分)
如圖,直三棱柱ABC-A’B’C’中,CB⊥平面ABB’A’,點E是棱BC的中點,AB=BC=AA’。
(I)求證直線CA’//平面AB’E;
(II)(文)求二面角C-A’B’-B的大??;
(理)求直線CA’與平面BB’C’C所成角的大小。
18.(本小題滿分12分)
設(shè)橢圓的焦點分別為F1(-1,0)、F2(1,0),右準線l交x軸于點A,且
(Ⅰ)試求橢圓的方程;
(Ⅱ)過F1、F2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(如圖所示),試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值。
19.(本小題滿分12分)
某大學(xué)的研究生入學(xué)考試有50人參加,其中英語與政治成績采用5分制,設(shè)政治成績?yōu)?i>x,英語成績?yōu)?i>y,結(jié)果如下表:
y 人數(shù) x |
英
語 |
|||||
1分 |
2分 |
3分 |
4分 |
5分 |
||
政 治 |
1分 |
1 |
3 |
1 |
0 |
1 |
2分 |
1 |
0 |
7 |
5 |
1 |
|
3分 |
2 |
1 |
0 |
9 |
3 |
|
4分 |
1 |
b |
6 |
0 |
a |
|
5分 |
0 |
0 |
1 |
1 |
3 |
(Ⅰ)求a +b的值;
(Ⅱ)求政治成績?yōu)?分且英語成績?yōu)?分的概率;
(Ⅲ)(文)若“考生的政治成績?yōu)?分” 與“英語成績?yōu)?分”是相互獨立事件,求a、b的值;
(理)若y的數(shù)學(xué)期望為,求a、b的值。
20.(本小題滿分13分)
已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c是的圖象經(jīng)過原點,且在x=1處取得極值,直線y=2x+5到曲線y=f(x)在原點處的切線所成的夾角為450。
(1)求f(x)的解析式;
(2)若對于任意實數(shù)α和β恒有不等式| f(2sinα)―f(2sinβ)|≤m成立,求m的最小值;
(3)若g(x)=xf(x)+tx2+kx+s,是否存在常數(shù)t和k,使得對于任意實數(shù)s,g(x)在[-3,―2]上遞減,而在[-1,0]上遞增,且存在x0(x0>1)使得g(x)在[1,x0]上遞減?若存在,求出t+ k的取值范圍;若不存在,則說明理由。
21.(14分)已知等差數(shù)列{an}的首項為a,公差為b;等比數(shù)列{bn}的首項為b,公比為a,其中a,,且。
(1)求a的值;
(2)若對于任意,總存在,使,求b的值;
(3)在(2)中,記{cn}是所有{an}中滿足, 的項從小到大依次組成的數(shù)列,又記為{cn}的前n項和,是數(shù)列{an}的前n項和,求證:≥。
高考數(shù)學(xué)沖刺預(yù)測試卷 本卷滿分:150分 試卷用時:120分鐘 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題) 和第Ⅱ卷(非選擇題) 兩部分。共150分??荚嚂r間120分鐘。 球的表面積公式 其中R表示球的半徑 球的體積公式 其中R表示球的半徑 參考公式: 如果事件A、B互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互獨立,那么 P(A.B)=參考答案
高考數(shù)學(xué)沖刺預(yù)測試卷
參考答案
一、選擇題
1.選C。,=,,p是q的充分必要條件。
點評:本題主要考查集合、解不等式和充要條件的知識,以及分析問題和解決問題的能力。
2.(理)選C。設(shè)z=a+bi,|z|-z=2-4i,則a=3,b=-4,∴z=3-4i.
。
點評:本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運算,這是高考的常見題型,應(yīng)注意把握好難度。
(文)選B.∵,∴,即。
,
。
點評:本題主要考查同角的三角函數(shù)的化簡和誘導(dǎo)公式。
3.選D。位置不確定。
點評:本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,以及空間想象能力。
4.選C。函數(shù)以2為周期,畫出的圖象,數(shù)形結(jié)合。
點評:本題主要考查函數(shù)的周期和函數(shù)的圖象,以及數(shù)形結(jié)合的思想。
5.選A。從除e和x外,還有5個不同的字母, 含“ex”的排列數(shù)是,從7個不同的字母的排列數(shù)是,故含“at”(“at”相連且順序不變)的概率為。
點評:本題主要考查古典概率問題及排列與組合的基礎(chǔ)知識。
6.選D。由的圖象可知, 斜率先增大后減小。
點評:本題主要導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合以及函數(shù)的單調(diào)性。
7.選A。如圖,路燈距地平面的距離為DC,人的身高為EB。設(shè)人從C點運動到B處路程為x米,時間為t(單位:秒),AB為人影長度,設(shè)為y,則∵BE∥CD,∴。
∴,又80 m/min=1.4 m/s,
∴y=x=t(x=t)。
∵y′=,∴人影長度的變化速率為m/s。
點評:本題主要考查有關(guān)射影知識和平面幾何的相似比。
8.選B。就是在上的射影,要求其最大值,就是求點P的橫坐標x的最大值,這只需作出的平面區(qū)域,即可看出x-4y+3=0與3x+5y=25的交點(5,2)就是取最大值時P點的位置。
點評:本題主要考查線形區(qū)域與平面向量的基本知識。
9.選C。設(shè)正三棱錐的高為,底面正三角形的邊長為,,。
這個棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值=。
點評:本題主要考查正三棱錐的有關(guān)知識和二面角的平面角的求法。
10.選D。不妨設(shè)F為右焦點,則。由于,所以點P在以原點為圓心, 為半徑的圓上,即,聯(lián)立消去x得,。
點評:本題主要考查雙曲線與直線、平面向量等基礎(chǔ)知識,以及分析問題的能力。
二、填空題。
11.填。過P點作PQ⊥AD于Q,再過Q作QH⊥A1D1于H,連PH,利用三垂線定理可證PH⊥A1D1.設(shè)P(x,y),
∵|PH|2 - |PH|2 = 1,∴x2 +1- [(x)2+y2] =1,化簡得。
點評:本題主要考查立體幾何與解析幾何的軌跡問題,這是高考命題的一個新趨勢。
12.填(,)?!?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383776_1/image044.gif">,即,,∴,又∵,即,,∴,∴。
點評:本題主要考查同角的三角函數(shù)的化簡,以及兩角和的正弦公式的應(yīng)用,和解三角不等式。
13.填③。當(dāng)a2-b≤0時,f(x)=x2-2ax+b,圖象的對稱軸為x=a,開口向上,③對。
點評:本題主要考查二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)與絕對值等知識。
14.填2×3n-1-1。烷烴的通式為,設(shè)第n個分子中C原子個數(shù)為an,則an+1=an+2an+2,故an=3n-1(a1+1)-1=2×3n-1-1。
點評:本題主要考查數(shù)學(xué)與化學(xué)知識的綜合,以及遞推數(shù)列的通項的求法。
15.填2?!?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383776_1/image123.gif">,∴,又
。
點評:本題主要考查函數(shù)的極限以及組合的知識,以及分析問題和解決問題的能力。
三、解答題。
16.解析:(1)∵,∴。
∵在單調(diào)遞增, ∴。
∴在恒成立, ∴。
(2) ∵在單調(diào)遞增,
∵,,,
,,,
∴
,。
∵,∴。
綜上:的解集是。
點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、三角函數(shù)與平面向量等知識的綜合,以及分析問題和解決問題的能力.平面向量與三角函數(shù)的綜合,是近幾年高考考試的熱點,應(yīng)引起足夠的重視。
17.證明:(I)∵平面PAD⊥平面ABCD,AD為交線,CD⊥AD
平面PAD
平面PAD
又為正三角形,E為PD中點
平面PCD 6分
(II)(文)作PQ//AB且PQ=AB,連QB、QC可得AD=BC=BQ=AP=DP=CQ
平面PAD,所以
是平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角
平面PAB與平面PDC所成二面角的大小為60° 12分
(理)作,則F為QC中點,連PF
∴四邊形AEFB是平行四邊形,BF//AE
平面PDC
平面PDC
是BP與平面PDC所成的角
設(shè)PA=a,則,
則由直三角形PFB可得
,。
直線PB與平面PDC所成角的大小為?! ?12分
點評:本題主要考查立體幾何的有關(guān)知識,以及分析問題與解決問題的能力。本題也可以采用向量法來處理。
18.解:(Ⅰ)由題意, …………………2分
,,
∴為AF1的三等分點?! ?……………………………………………3分
,。
即橢圓方程為…………………………………………………5分
(Ⅱ)當(dāng)直線DE與x軸垂直時,,
此時,四邊形DMEN的面積為。
同理當(dāng)MN與x軸垂直時,也有四邊形DMEN的面積為?!? 分
當(dāng)直線DE,MN均與x軸不垂直時,設(shè)DE∶,代入橢圓方程,消去
y得:
設(shè)
∴,
∴,
同理, ………………………8分
∴四邊形的面積
,………………………………10分
令
∵
當(dāng),且S是以u為自變量的增函數(shù),
∴。
綜上可知,四邊形DMEN面積的最大值為2,最小值為?!?2分
點評:本題主要考查解析幾何的有關(guān)知識,以及分析問題與解決問題的能力。本題也可以采用向量法來處理。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是歷年高考中經(jīng)久不衰的重要題型,應(yīng)復(fù)習(xí)到位,尤其是與平面向量的綜合應(yīng)引起足夠的重視。
19.解:(Ⅰ)考生總?cè)藬?shù)是50,因此表中標出的總?cè)藬?shù)也應(yīng)是50,所以a +b+47=50,
故a +b=50-47=3; ………………………………4分
(Ⅱ)從表中可以看出,“政治成績?yōu)?分且英語成績?yōu)?分”的考生人數(shù)為6人,所以其概率為. ………………………………8分
(Ⅲ)(文)因為若“考生的政治成績?yōu)?分” 與“英語成績?yōu)?分”是相互獨立事件,
所以P(x=4,y=2)= P(x=4).P(y=2),即,
解得: b=1,a=2. …………………………………12分
(理)由已知,解得:a=1,b=2。
………………………………12分
點評:本題主要考查概率與統(tǒng)計的有關(guān)知識,以及分析問題與解決問題的能力。概率與統(tǒng)計的應(yīng)用題是經(jīng)幾年高考應(yīng)用題的熱點題形,應(yīng)引起足夠的重視。
20.解: (1)由題意有f(0)= c=0,fノ(x)=3 x2+2ax+b,且fノ(1)= 3+2a+b=0。
又曲線y=f(x)在原點處的切線的斜率k=fノ(0)= b,而直線y=2x+5到它所成的夾角為45°,
∴1=tan45°= ,解得b=― 3.代入3+2a+b=0得a=0。
故f(x)的解析式為f(x)=x3― 3x。
(2)∵對于任意實數(shù)α和β有2sinα,2sinβ∈[-2,2]。
由fノ(x)=3x2―3=3(x―1) (x+1)可知,f(x)在(-∞,―1]和[1,+∞)上遞增;在[-1,1]遞減。
又f(―2)= ―2,f(―1)= 2,f(1)= ―2,f(2)= 2,
∴f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值分別為―2和2。
∴對于任意實數(shù)α和β恒有| f(2sinα)―f(2sinβ)|≤4。
故m≥4,即m的最小值為4。
(3)∵g(x)=x(x3― 3x)+tx2+kx+s= x4+(t―3)x2+kx+s,∴gノ(x)= 4 x3+2(t―3)x+k,
∴要使g(x)在[-3,―2]上遞減,而在[-1,0]上遞增,且存在x0(x0>1)使得g(x)在[1,x0]上遞減,只需在[-3,―2]和[1,x0]上gノ(x)≤0,而在[-1,0]上gノ(x)≥0。
令h(x)= gノ(x),則hノ(x)= 12 x2+2(t―3),當(dāng)t―3≥0時,hノ(x)在R上恒為非負,此時顯然不存在這樣的常數(shù)t和k,∴t―3<0。
當(dāng)t―3<0時,g(x)在(-∞,―]和[,+∞)上遞增,而在[―,―]上遞減。
∴要使h(x)在[-3,―2]和[1,x0]上h(x)≤0,而在[-1,0]上h(x)≥0,只需h(―2)= ―32―4 (t―3)+k
即
作出可行域如圖所示,由圖可知,當(dāng)直線t+ k= z過A點時z取得最大值5,當(dāng)直線t+ k= z過B點時z取得最大值―5。
故存在這樣的常數(shù)t和k,其取值范圍為[-5,5]。
點評:本題主要考查解析幾何、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)及不等式的有關(guān)知識,以及分析問題與解決問題的能力。
21.解析:(1)∵,a,,
∴ ∴ ∴ ∴.
∴a=2或a=3(a=3時不合題意,舍去).∴a=2.
(2),,由可得
.∴.
∴b=5。
(3)由(2)知,, ∴.
∴.
∴,.
∵,.
當(dāng)n≥3時,
.
∴.
綜上得.
點評:本題主要考查兩個基本數(shù)列和不等式的有關(guān)知識,以及分析問題與解決問題的能力。解決本題第(1)小題的關(guān)鍵是利用條件確定的值,第(2)小題關(guān)鍵是利用二項式定理=>1+進行放縮得到。有關(guān)數(shù)列和不等式的綜合題經(jīng)常出現(xiàn)在高考壓軸題中。