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21.(14分)已知等差數(shù)列{an}的首項為a,公差為b;等比數(shù)列{bn}的首項為b,公比為a,其中a,,且。
(1)求a的值;
(2)若對于任意,總存在,使,求b的值;
(3)在(2)中,記{cn}是所有{an}中滿足, 的項從小到大依次組成的數(shù)列,又記為{cn}的前n項和,是數(shù)列{an}的前n項和,求證:≥。
高考數(shù)學(xué)沖刺預(yù)測試卷
參考答案
一、選擇題
1.選C。,=,,p是q的充分必要條件。
點評:本題主要考查集合、解不等式和充要條件的知識,以及分析問題和解決問題的能力。
2.(理)選C。設(shè)z=a+bi,|z|-z=2-4i,則a=3,b=-4,∴z=3-4i.
。
點評:本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運算,這是高考的常見題型,應(yīng)注意把握好難度。
(文)選B.∵,∴,即。
,
。
點評:本題主要考查同角的三角函數(shù)的化簡和誘導(dǎo)公式。
3.選D。位置不確定。
點評:本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,以及空間想象能力。
4.選C。函數(shù)以2為周期,畫出的圖象,數(shù)形結(jié)合。
點評:本題主要考查函數(shù)的周期和函數(shù)的圖象,以及數(shù)形結(jié)合的思想。
5.選A。從除e和x外,還有5個不同的字母, 含“ex”的排列數(shù)是,從7個不同的字母的排列數(shù)是,故含“at”(“at”相連且順序不變)的概率為。
點評:本題主要考查古典概率問題及排列與組合的基礎(chǔ)知識。
6.選D。由的圖象可知, 斜率先增大后減小。
點評:本題主要導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合以及函數(shù)的單調(diào)性。
7.選A。如圖,路燈距地平面的距離為DC,人的身高為EB。設(shè)人從C點運動到B處路程為x米,時間為t(單位:秒),AB為人影長度,設(shè)為y,則∵BE∥CD,∴。
∴,又80 m/min=1.4 m/s,
∴y=x=t(x=t)。
∵y′=,∴人影長度的變化速率為m/s。
點評:本題主要考查有關(guān)射影知識和平面幾何的相似比。
8.選B。就是在上的射影,要求其最大值,就是求點P的橫坐標(biāo)x的最大值,這只需作出的平面區(qū)域,即可看出x-4y+3=0與3x+5y=25的交點(5,2)就是取最大值時P點的位置。
點評:本題主要考查線形區(qū)域與平面向量的基本知識。
9.選C。設(shè)正三棱錐的高為,底面正三角形的邊長為,,。
這個棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值=。
點評:本題主要考查正三棱錐的有關(guān)知識和二面角的平面角的求法。
10.選D。不妨設(shè)F為右焦點,則。由于,所以點P在以原點為圓心, 為半徑的圓上,即,聯(lián)立消去x得,。
點評:本題主要考查雙曲線與直線、平面向量等基礎(chǔ)知識,以及分析問題的能力。
二、填空題。
11.填。過P點作PQ⊥AD于Q,再過Q作QH⊥A1D1于H,連PH,利用三垂線定理可證PH⊥A1D1.設(shè)P(x,y),
∵|PH|2 - |PH|2 = 1,∴x2 +1- [(x)2+y2] =1,化簡得。
點評:本題主要考查立體幾何與解析幾何的軌跡問題,這是高考命題的一個新趨勢。
12.填(,)?!?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383776_1/image044.gif">,即,,∴,又∵,即,,∴,∴。
點評:本題主要考查同角的三角函數(shù)的化簡,以及兩角和的正弦公式的應(yīng)用,和解三角不等式。
13.填③。當(dāng)a2-b≤0時,f(x)=x2-2ax+b,圖象的對稱軸為x=a,開口向上,③對。
點評:本題主要考查二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)與絕對值等知識。
14.填2×3n-1-1。烷烴的通式為,設(shè)第n個分子中C原子個數(shù)為an,則an+1=an+2an+2,故an=3n-1(a1+1)-1=2×3n-1-1。
點評:本題主要考查數(shù)學(xué)與化學(xué)知識的綜合,以及遞推數(shù)列的通項的求法。
15.填2?!?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383776_1/image123.gif">,∴,又
。
點評:本題主要考查函數(shù)的極限以及組合的知識,以及分析問題和解決問題的能力。
三、解答題。
16.解析:(1)∵,∴。
∵在單調(diào)遞增, ∴。
∴在恒成立, ∴。
(2) ∵在單調(diào)遞增,
∵,,,
,,,
∴
,。
∵,∴。
綜上:的解集是。
點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、三角函數(shù)與平面向量等知識的綜合,以及分析問題和解決問題的能力.平面向量與三角函數(shù)的綜合,是近幾年高考考試的熱點,應(yīng)引起足夠的重視。
17.證明:(I)∵平面PAD⊥平面ABCD,AD為交線,CD⊥AD
平面PAD
平面PAD
又為正三角形,E為PD中點
平面PCD 6分
(II)(文)作PQ//AB且PQ=AB,連QB、QC可得AD=BC=BQ=AP=DP=CQ
平面PAD,所以
是平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角
平面PAB與平面PDC所成二面角的大小為60° 12分
(理)作,則F為QC中點,連PF
∴四邊形AEFB是平行四邊形,BF//AE
平面PDC
平面PDC
是BP與平面PDC所成的角
設(shè)PA=a,則,
則由直三角形PFB可得
,。
直線PB與平面PDC所成角的大小為?! ?12分
點評:本題主要考查立體幾何的有關(guān)知識,以及分析問題與解決問題的能力。本題也可以采用向量法來處理。
18.解:(Ⅰ)由題意, …………………2分
,,
∴為AF1的三等分點?! ?……………………………………………3分
,。
即橢圓方程為…………………………………………………5分
(Ⅱ)當(dāng)直線DE與x軸垂直時,,
此時,四邊形DMEN的面積為。
同理當(dāng)MN與x軸垂直時,也有四邊形DMEN的面積為?!? 分
當(dāng)直線DE,MN均與x軸不垂直時,設(shè)DE∶,代入橢圓方程,消去
y得:
設(shè)
∴,
∴,
同理, ………………………8分
∴四邊形的面積
,………………………………10分
令
∵
當(dāng),且S是以u為自變量的增函數(shù),
∴。
綜上可知,四邊形DMEN面積的最大值為2,最小值為?!?2分
點評:本題主要考查解析幾何的有關(guān)知識,以及分析問題與解決問題的能力。本題也可以采用向量法來處理。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是歷年高考中經(jīng)久不衰的重要題型,應(yīng)復(fù)習(xí)到位,尤其是與平面向量的綜合應(yīng)引起足夠的重視。
19.解:(Ⅰ)考生總?cè)藬?shù)是50,因此表中標(biāo)出的總?cè)藬?shù)也應(yīng)是50,所以a +b+47=50,
故a +b=50-47=3; ………………………………4分
(Ⅱ)從表中可以看出,“政治成績?yōu)?分且英語成績?yōu)?分”的考生人數(shù)為6人,所以其概率為. ………………………………8分
(Ⅲ)(文)因為若“考生的政治成績?yōu)?分” 與“英語成績?yōu)?分”是相互獨立事件,
所以P(x=4,y=2)= P(x=4).P(y=2),即,
解得: b=1,a=2. …………………………………12分
(理)由已知,解得:a=1,b=2。
………………………………12分
點評:本題主要考查概率與統(tǒng)計的有關(guān)知識,以及分析問題與解決問題的能力。概率與統(tǒng)計的應(yīng)用題是經(jīng)幾年高考應(yīng)用題的熱點題形,應(yīng)引起足夠的重視。
20.解: (1)由題意有f(0)= c=0,fノ(x)=3 x2+2ax+b,且fノ(1)= 3+2a+b=0。
又曲線y=f(x)在原點處的切線的斜率k=fノ(0)= b,而直線y=2x+5到它所成的夾角為45°,
∴1=tan45°= ,解得b=― 3.代入3+2a+b=0得a=0。
故f(x)的解析式為f(x)=x3― 3x。
(2)∵對于任意實數(shù)α和β有2sinα,2sinβ∈[-2,2]。
由fノ(x)=3x2―3=3(x―1) (x+1)可知,f(x)在(-∞,―1]和[1,+∞)上遞增;在[-1,1]遞減。
又f(―2)= ―2,f(―1)= 2,f(1)= ―2,f(2)= 2,
∴f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值分別為―2和2。
∴對于任意實數(shù)α和β恒有| f(2sinα)―f(2sinβ)|≤4。
故m≥4,即m的最小值為4。
(3)∵g(x)=x(x3― 3x)+tx2+kx+s= x4+(t―3)x2+kx+s,∴gノ(x)= 4 x3+2(t―3)x+k,
∴要使g(x)在[-3,―2]上遞減,而在[-1,0]上遞增,且存在x0(x0>1)使得g(x)在[1,x0]上遞減,只需在[-3,―2]和[1,x0]上gノ(x)≤0,而在[-1,0]上gノ(x)≥0。
令h(x)= gノ(x),則hノ(x)= 12 x2+2(t―3),當(dāng)t―3≥0時,hノ(x)在R上恒為非負,此時顯然不存在這樣的常數(shù)t和k,∴t―3<0。
當(dāng)t―3<0時,g(x)在(-∞,―]和[,+∞)上遞增,而在[―,―]上遞減。
∴要使h(x)在[-3,―2]和[1,x0]上h(x)≤0,而在[-1,0]上h(x)≥0,只需h(―2)= ―32―4 (t―3)+k
即
作出可行域如圖所示,由圖可知,當(dāng)直線t+ k= z過A點時z取得最大值5,當(dāng)直線t+ k= z過B點時z取得最大值―5。
故存在這樣的常數(shù)t和k,其取值范圍為[-5,5]。
點評:本題主要考查解析幾何、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)及不等式的有關(guān)知識,以及分析問題與解決問題的能力。
21.解析:(1)∵,a,,
∴ ∴ ∴ ∴.
∴a=2或a=3(a=3時不合題意,舍去).∴a=2.
(2),,由可得
.∴.
∴b=5。
(3)由(2)知,, ∴.
∴.
∴,.
∵,.
當(dāng)n≥3時,
.
∴.
綜上得.
點評:本題主要考查兩個基本數(shù)列和不等式的有關(guān)知識,以及分析問題與解決問題的能力。解決本題第(1)小題的關(guān)鍵是利用條件確定的值,第(2)小題關(guān)鍵是利用二項式定理=>1+進行放縮得到。有關(guān)數(shù)列和不等式的綜合題經(jīng)常出現(xiàn)在高考壓軸題中。