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19.(本題滿分14分)本題共3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分5分,第3小題滿分5分
如圖,已知正三棱柱中,,,三棱錐中,
平面,且。
(1)求證:;
(2)求二面角的大?。?/p>
(3)求點(diǎn)到平面的距離。
高考數(shù)學(xué)全國(guó)統(tǒng)一模擬考試
參考答案與評(píng)份標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的。
請(qǐng)將你認(rèn)為正確的答案填在下面的表格中:
題號(hào) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
答案 |
C |
C |
B |
A |
B |
A |
D |
C |
C |
D |
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。不需要寫出解答過(guò)程,請(qǐng)把答案直接填空在答題卡相應(yīng)位置上。
11、 12、7 13、10
14、1 15、①②③⑤ 16、
三、解答題:本大題共5小題,共70分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17.(本題滿分12分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分6分
解: (1)由,得------------3分
為銳角,, -------5分
--------------------------6分
(2) ---8分
又,,得, --------------------------10分
--------------------------12分
(若通過(guò)得出,求出,
未舍去,得兩解,扣2分.)
18.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分
解: (1)設(shè)點(diǎn),由得,,
由,得, ------------------------4分
即. ---------------------6分
(2)由(1)知為拋物線:的焦點(diǎn),為過(guò)焦點(diǎn)的直線與的兩個(gè)交點(diǎn).
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),得,,. ----8分
②當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí),設(shè),代入得
.設(shè),
則,得, ----12分
(或)
,此時(shí),由得
?! ?---------------14分
19.(本題滿分14分)本題共3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分5分,第3小題滿分5分
.解法一:
(1)在中,,,
∴,取中點(diǎn),
, ,
在中,,,又均為銳角,∴, ---------------2分
,又外, . ---------------4分
(2)∵平面平面,∴,過(guò)作于,連結(jié),則,
為二面角的平面角, ------------------------6分
易知=,∴,
二面角的大小為. ------------------------9分
(其它等價(jià)答案給同樣的得分)
(3),點(diǎn)到平面的距離,就是到平面的距離,-------------------------------11分
過(guò)作于,則,的長(zhǎng)度即為所求, 由上 (或用等體積求)----------------------------------14分
解法二:
如圖,建立圖示空間直角坐標(biāo)系.
則,,,,.
(1)
(2)利用,其中分別為兩個(gè)半平面的法向量,
或利用求解.
(3)利用,其中為平面的法向量。
20.(本題滿分15分)本題共2個(gè)小題,第1小題滿分7分,第2小題滿分8分
解: (1)∵,,∴,∴. 1分
,即,∴. 3分
①當(dāng),即時(shí),上式不成立.……………………………4分
②當(dāng),即時(shí),.由條件,得到.
由,解得或. ……………………5分
由,解得或.…………………………6分
m的取值范圍是或. ………………………7分
(2)有一個(gè)實(shí)根.…………………………………………………………9分
,即.
記,則.
∵,,. ………………………10分
△>0,故有相異兩實(shí)根.
,∴ 顯然,,
∴,∴,∴. …………12分
于是
.
而為三次函數(shù)的極小值點(diǎn),故與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).
∴ 方程只有一個(gè)實(shí)根.…………………………15分
21.(本題滿分15分)本題共2個(gè)小題,第1小題滿分8分,第2小題滿分7分
解: (1)∵為正數(shù), ①,=1,∴>0(n∈N*),……… 1分
又?、?,①-②兩式相減得,
∴與同號(hào), ---------------------4分
∴對(duì)n∈N*恒成立的充要條件是>0. ---------------------7分
由=>0,得>7 . ---------------------8分
(2)證法1:假設(shè)存在,使得對(duì)任意正整數(shù)都有 .
則,則>17 . --------------------9分
另一方面,==,---------11分
∴,,……,,
∴,∴=, ①
--------------------------------14分
當(dāng)m>16時(shí),由①知,,不可能使對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,
--------------------------------15分
∴m≤16,這與>17矛盾,故不存在m,使得對(duì)任意正整數(shù)n都有 .
--------------------------------16分
(2)證法2:假設(shè)存在m,使得對(duì)任意正整數(shù)n都有 .
則,則>17 . --------------------9分
另一方面,, ------------------11分
∴,,……,,
∴, ① -----------------14分
當(dāng)m>16時(shí),由①知,,不可能使對(duì)任意正整數(shù)恒成立, --15分
∴m≤16,這與>17矛盾,故不存在m,使得對(duì)任意正整數(shù)n都有。 ---16分
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