3. (全國(guó)卷Ⅰ) 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng),前n項(xiàng)和為,且。(Ⅰ)求的通項(xiàng);(Ⅱ)求的前n項(xiàng)和。
解:(Ⅰ)由 得
即
可得
因?yàn)?,所? 解得,因而
(Ⅱ)因?yàn)槭鞘醉?xiàng)、公比的等比數(shù)列,故
則數(shù)列的前n項(xiàng)和
前兩式相減,得
即
[問題2]等差、等比數(shù)列的判定問題.P53 T7 例P54 T9
[例]P54 T9(上海卷)已知有窮數(shù)列共有2項(xiàng)(整數(shù)≥2),首項(xiàng)=2.設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為,且=+2(=1,2,┅,2-1),其中常數(shù)>1.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)若=2,數(shù)列滿足=(=1,2,┅,2),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)若(2)中的數(shù)列滿足不等式|-|+|-|+┅+|-|+|-|≤4,求的值.
(1) [證明] 當(dāng)n=1時(shí),a2=2a,則=a;
2≤n≤2k-1時(shí), an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2,
an+1-an=(a-1) an, ∴=a, ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2) 解:由(1)
得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn=(n=1,2,…,2k).
(3)設(shè)bn≤,解得n≤k+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)n≤k時(shí), bn<;
當(dāng)n≥k+1時(shí), bn>.
原式=(-b1)+(-b2)+…+(-bk)+(bk+1-)+…+(b2k-)
=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)
==.
當(dāng)≤4,得k2-8k+4≤0, 4-2≤k≤4+2,又k≥2,
∴當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時(shí),原不等式成立.