1.在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的基礎(chǔ)上,系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律,深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實踐中的指導(dǎo)作用,靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實際生活中的有關(guān)問題;
3.培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意,富于聯(lián)想,以適應(yīng)新的背景,新的設(shè)問方式,提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動探索的精神和科學(xué)理性的思維方法.
1.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法:
(1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。
(2)通項公式法:
①若 = +(n-1)d= +(n-k)d ,則為等差數(shù)列;
②若 ,則為等比數(shù)列。
(3)中項公式法:驗證中項公式成立。
2. 在等差數(shù)列中,有關(guān)的最值問題--常用鄰項變號法求解:
(1)當(dāng)>0,d<0時,滿足的項數(shù)m使得取最大值.
(2)當(dāng)<0,d>0時,滿足的項數(shù)m使得取最小值。
在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。
3.數(shù)列求和的常用方法:公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。
1.證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義,即通過證明 或而得。
2.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時,“基本量法”是常用的方法,但有時靈活地運用性質(zhì),可使運算簡便,而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。
3.注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如:= , =.
4.?dāng)?shù)列極限的綜合題形式多樣,解題思路靈活,但萬變不離其宗,就是離不開數(shù)列極限的概念和性質(zhì),離不開數(shù)學(xué)思想方法,只要能把握這兩方面,就會迅速打通解題思路.
5.解綜合題的成敗在于審清題目,弄懂來龍去脈,透過給定信息的表象,抓住問題的本質(zhì),揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件,明確解題方向,形成解題策略.
[問題1]等差、等比數(shù)列的項與和特征問題P49 例1 3。P50 例2 P56 例1 P59 T6.
[注1]文中所列例題如末給題目原文均為廣州市二輪復(fù)習(xí)資料上例題
例(四川卷)數(shù)列的前項和記為(Ⅰ)求的通項公式;(Ⅱ)等差數(shù)列的各項為正,其前項和為,且,又成等比數(shù)列,求
本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識,以及推理能力與運算能力。滿分12分。
解:(Ⅰ)由可得,兩式相減得
又 ∴ 故是首項為,公比為得等比數(shù)列 ∴
(Ⅱ)設(shè)的公比為 由得,可得,可得
故可設(shè) 又
由題意可得 解得
∵等差數(shù)列的各項為正,∴ ∴ ∴
1.設(shè)等差數(shù)列{an}的首項a1及公差d都為整數(shù),前n項和為Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的數(shù)列{an}的通項公式
2.(上海卷)設(shè)數(shù)列的前項和為,且對任意正整數(shù),。(1)求數(shù)列的通項公式?(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,對數(shù)列,從第幾項起?
.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.
當(dāng)n≥2時, an= Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)= an-1-an ∴= an=2048()n-1.
(2) ∵log2an=log2[2048()n-1]=12-n, ∴Tn=(-n2+23n).
由Tn<-509,解得n>,而n是正整數(shù),于是,n≥46. ∴從第46項起Tn<-509.
3. (全國卷Ⅰ) 設(shè)正項等比數(shù)列的首項,前n項和為,且。(Ⅰ)求的通項;(Ⅱ)求的前n項和。
解:(Ⅰ)由 得
即
可得
因為,所以 解得,因而
(Ⅱ)因為是首項、公比的等比數(shù)列,故
則數(shù)列的前n項和
前兩式相減,得
即
[問題2]等差、等比數(shù)列的判定問題.P53 T7 例P54 T9
[例]P54 T9(上海卷)已知有窮數(shù)列共有2項(整數(shù)≥2),首項=2.設(shè)該數(shù)列的前項和為,且=+2(=1,2,┅,2-1),其中常數(shù)>1.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)若=2,數(shù)列滿足=(=1,2,┅,2),求數(shù)列的通項公式;
(3)若(2)中的數(shù)列滿足不等式|-|+|-|+┅+|-|+|-|≤4,求的值.
(1) [證明] 當(dāng)n=1時,a2=2a,則=a;
2≤n≤2k-1時, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2,
an+1-an=(a-1) an, ∴=a, ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2) 解:由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn=(n=1,2,…,2k).
(3)設(shè)bn≤,解得n≤k+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)n≤k時, bn<;
當(dāng)n≥k+1時, bn>.
原式=(-b1)+(-b2)+…+(-bk)+(bk+1-)+…+(b2k-)
=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)
==.
當(dāng)≤4,得k2-8k+4≤0, 4-2≤k≤4+2,又k≥2,
∴當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.
4.[例],已知數(shù)列中,是其前項和,并且,⑴設(shè)數(shù)列,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;⑵設(shè)數(shù)列,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;⑶求數(shù)列的通項公式及前項和。
分析:由于{b}和{c}中的項都和{a}中的項有關(guān),{a}中又有S=4a+2,可由S-S作切入點探索解題的途徑.
[注2]本題立意與2007年高考題文科20題結(jié)構(gòu)相似.
解:(1)由S=4a,S=4a+2,兩式相減,得S-S=4(a-a),即a=4a-4a.(根據(jù)b的構(gòu)造,如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵,注意加強恒等變形能力的訓(xùn)練)
a-2a=2(a-2a),又b=a-2a,所以b=2b ①
已知S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3 ②
由①和②得,數(shù)列{b}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,故b=3.2.
當(dāng)n≥2時,S=4a+2=2(3n-4)+2;當(dāng)n=1時,S=a=1也適合上式.
綜上可知,所求的求和公式為S=2(3n-4)+2.
說明:1.本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差,等比數(shù)列,求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。
2.解綜合題要總攬全局,尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件,在后面求解的過程中適時應(yīng)用.
[問題3]函數(shù)與數(shù)列的綜合題 P51 例3
數(shù)列是一特殊的函數(shù),其定義域為正整數(shù)集,且是自變量從小到大變化時函數(shù)值的序列。注意深刻理解函數(shù)性質(zhì)對數(shù)列的影響,分析題目特征,探尋解題切入點.
P51 例3已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點,其導(dǎo)函數(shù)為,數(shù)列的前n項和為,點均在函數(shù)的圖像上。(Ⅰ)、求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)、設(shè),是數(shù)列的前n項和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m;
點評:本題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運算技能,考查分析問題的能力和推理能力。
解:(Ⅰ)設(shè)這二次函數(shù)f(x)=ax2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得
a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因為點均在函數(shù)的圖像上,所以=3n2-2n.
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.
當(dāng)n=1時,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ()
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,
故Tn===(1-).
因此,要使(1-)<()成立的m,必須且僅須滿足≤,即m≥10,所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.
5.設(shè),定義,其中n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若,
解:(1)=2,,,
∴
∴,∴數(shù)列{an}上首項為,公比為的等比數(shù)列,
(2)
兩式相減得:
6.(湖北卷)設(shè)數(shù)列的前n項和為,點均在函數(shù)y=3x-2的圖像上。
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),是數(shù)列的前n項和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m。
本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運算技能,考查分析問題能力和推理能力。
解:(I)依題意得,即。
當(dāng)n≥2時,a;
當(dāng)n=1時,×-2×1-1-6×1-5
所以。
(II)由(I)得,
故=。
因此,使得﹤成立的m必須滿足≤,即m≥10,故滿足要求的最小整數(shù)m為10。
[問題4]數(shù)列與解析幾何
數(shù)列與解析幾何綜合題,是今后高考命題的重點內(nèi)容之一,求解時要充分利用數(shù)列、解析幾何的概念、性質(zhì),并結(jié)合圖形求解.
例3.在直角坐標(biāo)平面上有一點列,對一切正整數(shù),點位于函數(shù)的圖象上,且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項,為公差的等差數(shù)列.
⑴求點的坐標(biāo);子⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸,第條拋物線的頂點為,且過點,記與拋物線相切于的直線的斜率為,求:.
解:(1)
(2)的對稱軸垂直于軸,且頂點為.設(shè)的方程為:
把代入上式,得,的方程為:。
,
=
點評:本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題,難度較大。(1)、(2)兩問運用幾何知識算出.
7.已知拋物線,過原點作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點,又過點作斜率為的直線交拋物線于點,再過作斜率為的直線交拋物線于點,,如此繼續(xù),一般地,過點作斜率為的直線交拋物線于點,設(shè)點.
(Ⅰ)令,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.并求數(shù)列的前項和為
解:(1)因為、在拋物線上,故①②,又因為直線的斜率為,即,①②代入可得, 故是以
為公比的等比數(shù)列;,
[問題5]數(shù)列與算法
8. 數(shù)列的前項和為=n2+2n-1,試用程序框圖
表示數(shù)列通項的過程,并寫出數(shù)列的前5項和通項公式.
9.根據(jù)流程圖,(1)求;(2)若,求n.
[問題6]數(shù)列創(chuàng)新題
10.(安徽卷)數(shù)列的前項和為,已知
(Ⅰ)寫出與的遞推關(guān)系式,并求關(guān)于的表達式;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項和。
解:由得:,即,所以,對成立。
由,,…,相加得:,又,所以,當(dāng)時,也成立。
(Ⅱ)由,得。
而,
,
11.(福建卷)已知數(shù)列{an}滿足a1=a, an+1=1+我們知道當(dāng)a取不同的值時,得到不同的數(shù)列,如當(dāng)a=1時,得到無窮數(shù)列:
(Ⅰ)求當(dāng)a為何值時a4=0;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1=-1, bn+1=,求證a取數(shù)列{bn}中的任一個數(shù),都可以得到一個有窮數(shù)列{an};
(I)解法一:
故a取數(shù)列{bn}中的任一個數(shù),都可以得到一個有窮數(shù)列{an}
12. (全國卷III) 在等差數(shù)列中,公差的等比中項.
已知數(shù)列成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項
解:由題意得:……………1分
即…………3分
又…………4分
又成等比數(shù)列,
∴該數(shù)列的公比為,………6分
所以………8分
又……………………………………10分
所以數(shù)列的通項為……………………………12分
課后訓(xùn)練:
1.如果-1,a, b,c,-9成等比數(shù)列,那么
A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
2.在等差數(shù)列{a}中,已知a=2,a+a=13,則a+a+a等于
A.40 B.42 C.43 D.45
3.(06廣東卷)已知某等差數(shù)列共有10項,其奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為30,則其公差為
A.5 B.4 C. 3 D. 2
4.若互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,且,則
A.4 B.2 C.-2 D.-4
5.(06江西卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若,且A、B、C三點共線(該直線不過原點O),則S200=( )
A.100 B. 101 C.200 D.201
6.(文科做)在等比數(shù)列中,,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于
A. B. C. D.
7.已知數(shù)列滿足,則= ( )
A.0 B. C. D.
8.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若=,則=
A. B. C. D.
9.已知等差數(shù)列{an}中,a2+a8=8,則該數(shù)列前9項和S9等于( )
A.18 B.27 C.36 D.45
10.已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列,其首項分別為、,且,.設(shè)(),則數(shù)列的前10項和等于( )
A.55 B.70 C.85 D.100
11.設(shè)為等差數(shù)列的前n項和,=14,S10-=30,則S9= .
12.在數(shù)列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),則該數(shù)列的通項an=_________.
13. 已知a,b,a+b成等差數(shù)列,a,b,ab成等比數(shù)列,且0<logm(ab)<1,則m的取值范圍是________ _
14. 等差數(shù)列{an}共有2n+1項,其中奇數(shù)項之和為319,偶數(shù)項之和為290,則其中間項為_________
15.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,前n項和為Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,則q的值為 .
16 已知正項數(shù)列,其前項和滿足且成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項
17.(文科做)(06福建)已知數(shù)列滿足
(I)證明:數(shù)列是等比數(shù)列; (II)求數(shù)列的通項公式;
(II)若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)
18.(山東卷)已知數(shù)列{}中,在直線y=x上,其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令 (Ⅱ)求數(shù)列
(Ⅲ)設(shè)的前n項和,是否存在實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,試求出.若不存在,則說明理由。
答案與點撥:
1 B 解:由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac=(-1)×(-9)=9,b×b=9且b與奇數(shù)項的符號相同,故b=-3,選B
2 B解:在等差數(shù)列中,已知∴ d=3,a5=14,=3a5=42,選B.
3 D解:,故選C.
4 D解:由互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)a=b-d,c=b+d,由可得b=2,所以a=2-d,c=2+d,又成等比數(shù)列可得d=6,所以a=-4,選D
5 A解:依題意,a1+a200=1,故選A
6 (文)C 解:因數(shù)列為等比,則,因數(shù)列也是等比數(shù)列,
則
即,所以,故選擇答案C。
7.A 提示:由a1=0,得a2=-
由此可知:數(shù)列{an}是周期變化的,且三個一循環(huán),所以可得:a20=a2=-故選A
8 A 解:由等差數(shù)列的求和公式可得且
所以,故選A
點評:本題主要考察等比數(shù)列的求和公式,難度一般
9 C 解:在等差數(shù)列{an}中,a2+a8=8,∴ ,則該數(shù)列前9項和S9==36,選C
10 C 解:數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列,其首項分別為、,且,.設(shè)(),則數(shù)列的前10項和等于=,,∴
=,選C.
11.(文)解:設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,由題意得
,聯(lián)立解得a1=2,d=1,所以S9=
12. 解:在數(shù)列中,若,∴ ,即{}是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,,所以該數(shù)列的通項.
13 (-∞,8) 提示 解出a、b,解對數(shù)不等式即可 答案 (-∞,8)
14 a11=29 提示 利用S奇/S偶=得解 答案 第11項a11=29
15.-2 提示:由題意可知q≠1,∴可得2(1-qn)=(1-qn+1)+(1-qn+2),即q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(不合題意,舍去),∴q=-2.
16 解:13 解 ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②
由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2).
當(dāng)a1=3時,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比數(shù)列∴a1≠3;
當(dāng)a1=2時, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3.
17.(I)證明:
是以為首項,2為公比的等比數(shù)列。
(II)解:由(I)得
(III)證明:
?、?/p>
②
②-①,得 即 ?、?/p>
?、?/p>
④-③,得 即
是等差數(shù)列。
18.(山東卷)已知數(shù)列{}中,在直線y=x上,其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令(Ⅱ)求數(shù)列
(Ⅲ)設(shè)的前n項和,是否存在實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,試求出.若不存在,則說明理由。
解:(I)由已知得
又
是以為首項,以為公比的等比數(shù)列.
(II)由(I)知,
將以上各式相加得:
(III)解法一:
存在,使數(shù)列是等差數(shù)列.
數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)
即
又
當(dāng)且僅當(dāng),即時,數(shù)列為等差數(shù)列.
解法二:
存在,使數(shù)列是等差數(shù)列.
由(I)、(II)知,
又
當(dāng)且僅當(dāng)時,數(shù)列是等差數(shù)列.