例1．(05浙江文20)已知函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且f(x)＝x2+2x．
(Ⅰ)求函數g(x)的解析式；(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(Ⅲ)若h(x)＝g(x)－f(x)+1在[－1，1]上是增函數，求實數的取值范圍。
解：(Ⅰ)設函數y=f(x)的圖象上任一點Q(xqλ,yq關于原點的對稱點(x,y),
則即∵點Qxq,yq)在函數f(x)的圖象上,∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得2x2-|x-1|≤0,當x≥1時,2x2-x+1≤0,此時不等式無解,
當x<1時,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集為[-1, ]
(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
① 當λ=-1時,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函數,∴λ=-1
② 當λ≠-1時,對稱軸的方程為x=.
(i)
當λ<-1時, ≤-1,解得λ<-1.
(ii)
當λ>-1時, ≥-1,解得-1<λ≤0.
綜上,λ≤0
例2.(江蘇卷)已知函數 (Ⅰ)當a=2時，求使f(x)＝x成立的x的集合；
(Ⅱ)求函數y＝f (x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.
解：(1)當a=2時,，則方程f(x)=x即為
解方程得：
(2)(I)當a>0時,，作出其草圖見右, 易知f (x)有兩個極值點借助于圖像可知,當時，函數f (x)在區(qū)間[1,2]上為增函數，此時
當時,顯然此時函數的最小值為
當時，，此時f(x)在區(qū)間為增函數，在區(qū)間上為減函數，
∴，又可得
∴
則當時，，此時
當時，，此時
當時，,此時f(x)在區(qū)間[1,2]為增函數，故
(II)當時，，此時f(x)在區(qū)間[1,2]也為增函數，故
(III)當時，其草圖見右 顯然函數f(x)在區(qū)間[1,2]為增函數，故
例3.(湖南卷)已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝ax2+bx，a≠0.
(Ⅰ)若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
(Ⅱ)設函數f(x)的圖象C1與函數g(x)圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1，C2于點M、N，證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.
解：(I)，則
因為函數h(x)存在單調遞減區(qū)間，所以<0有解.
又因為x>0時，則ax2+2x－1>0有x>0的解.
①當a>0時，y=ax2+2x－1為開口向上的拋物線，ax2+2x－1>0總有x>0的解；
②當a<0時，y=ax2+2x－1為開口向下的拋物線，而ax2+2x－1>0總有x>0的解；
則△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此時，－1<a<0.
綜上所述，a的取值范圍為(－1，0)∪(0，+∞).
(II)證法一 設點P、Q的坐標分別是(x1, y1)，(x2, y2)，0<x1<x2.
則點M、N的橫坐標為
C1在點M處的切線斜率為
C2在點N處的切線斜率為
假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則k1=k2.
即，
則
=
所以 設則①
令則
因為時，，所以在)上單調遞增. 故
則. 這與①矛盾，假設不成立. 故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.
證法二：同證法一得 因為，所以
令，得 ②
令
因為，所以時，
故在[1，+上單調遞增.從而，即
于是在[1，+上單調遞增.
故即這與②矛盾，假設不成立.
故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.
例4. 已知函數y＝f (x)是定義在上的周期函數，周期T=5，函數是奇函數又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函數，在[1,4]上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值.
①證明：；②求的解析式；③求在[4,9]上的解析式.
解：∵f (x)是以為周期的周期函數，∴，
又∵是奇函數，∴，∴
②當時，由題意可設，
由得，∴，
∴
③∵是奇函數，∴，
又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函數，∴可設，而，
∴，∴當時，f (x)=-3x，
從而當時，，故時，f (x)=
-3x，.
∴當時，有，∴0.
當時，，∴
∴
例5：已知函數f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明: (1)f(x)為奇函數；(2)f(x)在(－1，1)上單調遞減. ……
證明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,
令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0. ∴f(x)=－f(－x). ∴f(x)為奇函數.
(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減. 令0<x1<x2<1,則f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f()
∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由題意知f()<0，
即 f(x2)<f(x1).
∴f(x)在(0，1)上為減函數，又f(x)為奇函數且f(0)=0
∴f(x)在(－1，1)上為減函數.
例6．(湖南卷)設，點P(t，0)是函數的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線.(Ⅰ)用t表示a，b，c；
(Ⅱ)若函數在(－1，3)上單調遞減，求t的取值范圍.
解：(I)因為函數f (x),g(x)的圖象都過點((t，0)，所以，
即.因為所以.
又因為f (x),g(x)在點(t，0)處有相同的切線，所以
而
將代入上式得 因此故，，
(II)解法一.
當時，函數y= f (x)-g(x)單調遞減.
由，若；若
由題意，函數y= f (x)-g(x)在(－1，3)上單調遞減，
則所以
又當時，函數y= f (x)-g(x)在(－1，3)上單調遞減.
所以的取值范圍為
解法二：
因為函數y= f (x)-g(x)在(－1，3)上單調遞減，且是(－1，3)上的拋物線，
所以 即 所以的取值范圍為
時，
且g(-3)=0則不等式f(x)g(x)<0的解集是 (
)
B．
C．
D．