1.(北京卷)已知是上的減函數，那么的取值范圍是

(A)　 　 (B)　　 (C)　　 (D)

2.(福建卷)已知f(x)是周期為2的奇函數，當0<x<1時，設則

(A)　　(B)　　(C)　　(D)

3．(廣東卷)下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是

A.　　 B. 　　

C. 　　D.

4．(遼寧卷)設f(x)是R上的任意函數,則下列敘述正確的是

(A) f(x) f(-x)是奇函數 　(B) f(x) |f(-x)|是奇函數 　

(C) f(x)- f(-x)是偶函數 　(D) f(x)+ f(-x)是偶函數

5．(全國II)函數y＝f(x)的圖像與函數g(x)＝log₂x(x＞0)的圖像關于原點對稱，則f(x)的表達式為

(A)f(x)＝(x＞0)　 (B)f(x)＝log₂(－x)(x＜0) 　

(C)f(x)＝－log₂x(x＞0)　 　(D)f(x)＝－log₂(－x)(x＜0)

6．(全國II)如果函數y=f(x)的圖像與函數的圖像關于坐標原點對稱，則y=f(x)的表達式為

(A)y=2x-3　　(B)y=2x+3　　　 (C)y=-2x+3　(D)y=-2x-3

7.(山東卷)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=－f(x),則,f(6)的值為

(A)－1　　　　　 (B) 0　　　　　　 (C)　 1　　　　　　　　 (D)2

8．(天津文10) 設f(x)是定義在R上以6為周期的函數，f(x)在(0,3)內單調遞減，且y=f(x)的圖象關于直線x=3對稱，則下面正確的結論是　　　　　　　　　　　 (　 　)

(A)；　　 (B)；

(C)；　　 (D)

9.設f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當時，且g(-3)=0則不等式f(x)g(x)<0的解集是　　　　　　　 ( 　)

A．　B．　 C．　D．

10.直線沿軸正方向平移個單位，再沿軸負方向平移－1個單位得直線，若直線與重合，則直線的斜率為(　　 )

(A) 　　　(B) 　　　　　(C) 　　　　(D)

11．設f(x)是定義在R上的奇函數,且y=f(x)的圖象關于直線對稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 0 。

12．(天津文9)若函數在區(qū)間內恒有，則的單調遞增區(qū)間為　　　　　　　　　

例1．(05浙江文20)已知函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且f(x)＝x²+2x．

　 (Ⅰ)求函數g(x)的解析式；(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；

　(Ⅲ)若h(x)＝g(x)－f(x)+1在[－1，1]上是增函數，求實數的取值范圍。

解：(Ⅰ)設函數y=f(x)的圖象上任一點Q(x_qλ,y_q關于原點的對稱點(x,y),

則即∵點Qx_q,y_q)在函數f(x)的圖象上,∴-y=-x²+2x.,故g(x)=-x²+2x

(Ⅱ)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得2x²-|x-1|≤0,當x≥1時,2x²-x+1≤0,此時不等式無解,

當x<1時,2x²+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集為[-1, ]

(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x²+2(1-λ)x+1　

①　　 當λ=-1時,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函數,∴λ=-1

②　　 當λ≠-1時,對稱軸的方程為x=.

(i)　　　　　　　　 當λ<-1時, ≤-1,解得λ<-1.

(ii)　　　　　　　 當λ>-1時, ≥-1,解得-1<λ≤0.

綜上,λ≤0

例2.(江蘇卷)已知函數　(Ⅰ)當a=2時，求使f(x)＝x成立的x的集合；

(Ⅱ)求函數y＝f (x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.

解：(1)當a=2時,，則方程f(x)=x即為　

解方程得：

(2)(I)當a>0時,，作出其草圖見右, 易知f (x)有兩個極值點借助于圖像可知,當時，函數f (x)在區(qū)間[1,2]上為增函數，此時

當時,顯然此時函數的最小值為

當時，，此時f(x)在區(qū)間為增函數，在區(qū)間上為減函數，

∴，又可得　　 ∴

則當時，，此時

當時，，此時

當時，,此時f(x)在區(qū)間[1,2]為增函數，故

(II)當時，，此時f(x)在區(qū)間[1,2]也為增函數，故

(III)當時，其草圖見右　 顯然函數f(x)在區(qū)間[1,2]為增函數，故

例3.(湖南卷)已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝ax²+bx，a≠0.

　(Ⅰ)若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

　(Ⅱ)設函數f(x)的圖象C₁與函數g(x)圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁，C₂于點M、N，證明C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.

解：(I)，則

因為函數h(x)存在單調遞減區(qū)間，所以<0有解.

又因為x>0時，則ax²+2x－1>0有x>0的解.

①當a>0時，y=ax²+2x－1為開口向上的拋物線，ax²+2x－1>0總有x>0的解；

②當a<0時，y=ax²+2x－1為開口向下的拋物線，而ax²+2x－1>0總有x>0的解；

　 則△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此時，－1<a<0.

　 綜上所述，a的取值范圍為(－1，0)∪(0，+∞).

(II)證法一　 設點P、Q的坐標分別是(x₁, y₁)，(x₂, y₂)，0<x₁<x₂.

　　　　 則點M、N的橫坐標為

　　　　 C₁在點M處的切線斜率為

　　　　 C₂在點N處的切線斜率為

　　　　 假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則k₁=k₂.

　　　　 即，

則

　　　　　　　　 =

　　　 所以　 設則①

　　　 令則

　　　 因為時，，所以在)上單調遞增. 故

　　　 則. 這與①矛盾，假設不成立.　 故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.

證法二：同證法一得 因為，所以

　　　 令，得　 ②

　　　 令

　　　 因為，所以時，

故在[1，+上單調遞增.從而，即

于是在[1，+上單調遞增.

故即這與②矛盾，假設不成立.

故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.

例4. 已知函數y＝f (x)是定義在上的周期函數，周期T=5，函數是奇函數又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函數，在[1,4]上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值.

①證明：；②求的解析式；③求在[4,9]上的解析式.

解：∵f (x)是以為周期的周期函數，∴，

又∵是奇函數，∴，∴

②當時，由題意可設，

由得，∴，

∴

③∵是奇函數，∴，

又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函數，∴可設，而，

∴，∴當時，f (x)=-3x，

從而當時，，故時，f (x)= -3x，.

∴當時，有，∴0.

當時，，∴

∴

例5：已知函數f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明: (1)f(x)為奇函數；(2)f(x)在(－1，1)上單調遞減. ……

證明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,

令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0. ∴f(x)=－f(－x). ∴f(x)為奇函數.

(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減. 令0<x₁<x₂<1,則f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)+f(－x₁)=f()

∵0<x₁<x₂<1,∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，∴>0,

又(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)=(x₂－1)(x₁+1)<0，∴x₂－x₁<1－x₂x₁,∴0<<1,由題意知f()<0，

即　f(x₂)<f(x₁). ∴f(x)在(0，1)上為減函數，又f(x)為奇函數且f(0)=0 ∴f(x)在(－1，1)上為減函數.

例6．(湖南卷)設，點P(t，0)是函數的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線.(Ⅰ)用t表示a，b，c；

(Ⅱ)若函數在(－1，3)上單調遞減，求t的取值范圍.

解：(I)因為函數f (x),g(x)的圖象都過點((t，0)，所以，

　 　 即.因為所以.

　　　 又因為f (x),g(x)在點(t，0)處有相同的切線，所以

　　　 而

　　　 將代入上式得　 因此故，，

(II)解法一.

當時，函數y= f (x)-g(x)單調遞減.

由，若；若

由題意，函數y= f (x)-g(x)在(－1，3)上單調遞減，

則所以

又當時，函數y= f (x)-g(x)在(－1，3)上單調遞減.

所以的取值范圍為

解法二：

　　　 因為函數y= f (x)-g(x)在(－1，3)上單調遞減，且是(－1，3)上的拋物線，

　　　 所以　 即　 所以的取值范圍為

1.. (北京卷)在下列四個函數中，滿足性質：“對于區(qū)間(1，2)上的任意，恒成立”的只有

(A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)

解：|>1<1\ |<|x₁－x₂|故選A

2．(全國卷I)已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則

A．　 B．

C．　 　D．

解：函數的圖象與函數y=f(x)的圖象關于直線對稱，所以f(x)是的反函數，即=，∴ ，選D.

3.(全國卷I)已知函數，若為奇函數，則________。

解析：函數若為奇函數，則，即，a=.

4．(福建卷理12)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數，且f(2)=0在區(qū)間(0，6)內解的個數的最小值是　　 A．2；　 B．3；　 C．4；　 D．5　　　　 ( D )

5．(天津理10)若函數在區(qū)間內單調遞增，則a的取值范圍是(A)　 (B) 　 (C)　　 (D)　　　　　　　　　　 ( B )

6．(山東卷理4)下列函數既是奇函數，又在區(qū)間上單調遞減的是( D )

(A)　(B)　

(C)　(D)

7．(甘肅貴州青海寧夏新疆)理科數學第12題]

設函數為奇函數，則(　 　　)

　　　 A．0　　　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．5

8．已知f(x)是R上的偶函數，對都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，若f(1)=2，則f(2005)=(　　 )

A、2005　　　 B、2　　　 C、1　　　 D、0

9．方程f(x)=x的根稱為f(x)的不動點，若函數有唯一不動點，且，，則　　　　 。

11．定義在R上的函數y=f(x)，f(0)≠0，當x>0時，f(x)>1，且對任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，(1)求證：f(0)=1；(2)求證：對任意的x∈R，恒有f(x)>0；

(3)證明：f(x)是R上的增函數；

點撥與提示：根據f(a+b)=f(a).f(b)是恒等式的特點，對a、b適當賦值.利用單調性的性質去掉符號“f”得到關于x的代數不等式，是處理抽象函數不等式的典型方法.

12.設a為實數，設函數的最大值為g(a)。

　　(Ⅰ)設t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數m(t)

(Ⅱ)求g(a)

解：本小題主要考查函數、方程等基本知識，考查分類討論的數學思想方法和綜合運用數學知識分析問題、解決問題的能力。

(Ⅰ)令

要使有t意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,

∴t≥0　　　　　　　　 ①

t的取值范圍是由①得

∴m(t)=a()+t=

(Ⅱ)由題意知g(a)即為函數的最大值。

注意到直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論。

(1)當a>0時，函數y=m(t), 的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由<0知m(t)在上單調遞增，∴g(a)=m(2)=a+2

(2)當a=0時，m(t)=t, ,∴g(a)=2.

(3)當a<0時,函數y=m(t), 的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若，即則

若，即則

若，即則

綜上有