例1.(05浙江文20)已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(x)=x2+2x.
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式;(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(Ⅲ)若h(x)=g(x)-f(x)+1在[-1,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解:(Ⅰ)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點(diǎn)Q(xqλ,yq關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)(x,y),
則即∵點(diǎn)Qxq,yq)在函數(shù)f(x)的圖象上,∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得2x2-|x-1|≤0,當(dāng)x≥1時,2x2-x+1≤0,此時不等式無解,
當(dāng)x<1時,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集為[-1, ]
(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
① 當(dāng)λ=-1時,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函數(shù),∴λ=-1
② 當(dāng)λ≠-1時,對稱軸的方程為x=.
(i)
當(dāng)λ<-1時, ≤-1,解得λ<-1.
(ii)
當(dāng)λ>-1時, ≥-1,解得-1<λ≤0.
綜上,λ≤0
例2.(江蘇卷)已知函數(shù) (Ⅰ)當(dāng)a=2時,求使f(x)=x成立的x的集合;
(Ⅱ)求函數(shù)y=f (x)在區(qū)間[1,2]上的最小值.
解:(1)當(dāng)a=2時,,則方程f(x)=x即為
解方程得:
(2)(I)當(dāng)a>0時,,作出其草圖見右, 易知f (x)有兩個極值點(diǎn)借助于圖像可知,當(dāng)時,函數(shù)f (x)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù),此時
當(dāng)時,顯然此時函數(shù)的最小值為
當(dāng)時,,此時f(x)在區(qū)間為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),
∴,又可得
∴
則當(dāng)時,,此時
當(dāng)時,,此時
當(dāng)時,,此時f(x)在區(qū)間[1,2]為增函數(shù),故
(II)當(dāng)時,,此時f(x)在區(qū)間[1,2]也為增函數(shù),故
(III)當(dāng)時,其草圖見右 顯然函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]為增函數(shù),故
例3.(湖南卷)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0.
(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點(diǎn)P、Q,過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1,C2于點(diǎn)M、N,證明C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.
解:(I),則
因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以<0有解.
又因?yàn)閤>0時,則ax2+2x-1>0有x>0的解.
①當(dāng)a>0時,y=ax2+2x-1為開口向上的拋物線,ax2+2x-1>0總有x>0的解;
②當(dāng)a<0時,y=ax2+2x-1為開口向下的拋物線,而ax2+2x-1>0總有x>0的解;
則△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此時,-1<a<0.
綜上所述,a的取值范圍為(-1,0)∪(0,+∞).
(II)證法一 設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是(x1, y1),(x2, y2),0<x1<x2.
則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為
C1在點(diǎn)M處的切線斜率為
C2在點(diǎn)N處的切線斜率為
假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行,則k1=k2.
即,
則
=
所以 設(shè)則①
令則
因?yàn)闀r,,所以在)上單調(diào)遞增. 故
則. 這與①矛盾,假設(shè)不成立. 故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.
證法二:同證法一得 因?yàn)?,所?
令,得 ②
令
因?yàn)?,所以時,
故在[1,+上單調(diào)遞增.從而,即
于是在[1,+上單調(diào)遞增.
故即這與②矛盾,假設(shè)不成立.
故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.
例4. 已知函數(shù)y=f (x)是定義在上的周期函數(shù),周期T=5,函數(shù)是奇函數(shù)又知y=f (x)在[0,1]上是一次函數(shù),在[1,4]上是二次函數(shù),且在x=2時函數(shù)取得最小值.
①證明:;②求的解析式;③求在[4,9]上的解析式.
解:∵f (x)是以為周期的周期函數(shù),∴,
又∵是奇函數(shù),∴,∴
②當(dāng)時,由題意可設(shè),
由得,∴,
∴
③∵是奇函數(shù),∴,
又知y=f (x)在[0,1]上是一次函數(shù),∴可設(shè),而,
∴,∴當(dāng)時,f (x)=-3x,
從而當(dāng)時,,故時,f (x)=
-3x,.
∴當(dāng)時,有,∴0.
當(dāng)時,,∴
∴
例5:已知函數(shù)f(x)在(-1,1)上有定義,f()=-1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明: (1)f(x)為奇函數(shù);(2)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減. ……
證明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0. ∴f(x)=-f(-x). ∴f(x)為奇函數(shù).
(2)先證f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減. 令0<x1<x2<1,則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f()
∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0,
又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,∴x2-x1<1-x2x1,∴0<<1,由題意知f()<0,
即 f(x2)<f(x1).
∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù),又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0
∴f(x)在(-1,1)上為減函數(shù).
例6.(湖南卷)設(shè),點(diǎn)P(t,0)是函數(shù)的圖象的一個公共點(diǎn),兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.(Ⅰ)用t表示a,b,c;
(Ⅱ)若函數(shù)在(-1,3)上單調(diào)遞減,求t的取值范圍.
解:(I)因?yàn)楹瘮?shù)f (x),g(x)的圖象都過點(diǎn)((t,0),所以,
即.因?yàn)樗?
又因?yàn)閒 (x),g(x)在點(diǎn)(t,0)處有相同的切線,所以
而
將代入上式得 因此故,,
(II)解法一.
當(dāng)時,函數(shù)y= f (x)-g(x)單調(diào)遞減.
由,若;若
由題意,函數(shù)y= f (x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減,
則所以
又當(dāng)時,函數(shù)y= f (x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減.
所以的取值范圍為
解法二:
因?yàn)楹瘮?shù)y= f (x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減,且是(-1,3)上的拋物線,
所以 即 所以的取值范圍為