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7.根據某水文觀測點的歷史統計數據,得到某條河流水位的頻率分布直方圖(如圖2).從圖中可以看出,該水文觀測點平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是( )
A.48米 B.49米 C.50米 D.51米
高考數學招生適應性考試試卷
數學(文史類)參考答案
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.D 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.B
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在橫線上.
11.
12.
13.3
14.(1)(2)
15.,
三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.解:
.
(I)函數的最小正周期是;
(II)當,即()時,函數是增函數,故函數的單調遞增區(qū)間是().
17.解:任選1名下崗人員,記“該人參加過財會培訓”為事件,“該人參加過計算機培訓”為事件,由題設知,事件與相互獨立,且,.
(I)解法一:任選1名下崗人員,該人沒有參加過培訓的概率是
所以該人參加過培訓的概率是.
解法二:任選1名下崗人員,該人只參加過一項培訓的概率是
該人參加過兩項培訓的概率是.
所以該人參加過培訓的概率是.
(II)解法一:任選3名下崗人員,3人中只有2人參加過培訓的概率是
.
3人都參加過培訓的概率是.
所以3人中至少有2人參加過培訓的概率是.
解法二:任選3名下崗人員,3人中只有1人參加過培訓的概率是
.
3人都沒有參加過培訓的概率是.
所以3人中至少有2人參加過培訓的概率是.
18.解:(I)在平面內過點作于點,連結.
因為,,所以,
又因為,所以.
而,所以,,從而,又,
所以平面.因為平面,故.
(II)解法一:由(I)知,,又,,,所以.
過點作于點,連結,由三垂線定理知,.
故是二面角的平面角.
由(I)知,,所以是和平面所成的角,則,
不妨設,則,.
在中,,所以,
于是在中,.
故二面角的大小為.
解法二:由(I)知,,,,故可以為原點,分別以直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標系(如圖).
因為,所以是和平面所成的角,則.
不妨設,則,.
在中,,
所以.
則相關各點的坐標分別是
,,,.
所以,.
設是平面的一個法向量,由得
取,得.
易知是平面的一個法向量.
設二面角的平面角為,由圖可知,.
所以.
故二面角的大小為.
19.解:由條件知,設,.
(I)當與軸垂直時,可設點的坐標分別為,,
此時.
當不與軸垂直時,設直線的方程是.
代入,有.
則是上述方程的兩個實根,所以,,
于是
.
綜上所述,為常數.
(II)解法一:設,則,,
,,由得:
即
于是的中點坐標為.
當不與軸垂直時,,即.
又因為兩點在雙曲線上,所以,,兩式相減得
,即.
將代入上式,化簡得.
當與軸垂直時,,求得,也滿足上述方程.
所以點的軌跡方程是.
解法二:同解法一得……………………………………①
當不與軸垂直時,由(I) 有.…………………②
.………………………③
由①②③得.…………………………………………………④
.……………………………………………………………………⑤
當時,,由④⑤得,,將其代入⑤有
.整理得.
當時,點的坐標為,滿足上述方程.
當與軸垂直時,,求得,也滿足上述方程.
故點的軌跡方程是.
20.解:(I)當時,由已知得.
因為,所以. …………………………①
于是. …………………………………………………②
由②-①得:.……………………………………………③
于是.……………………………………………………④
由④-③得:.…………………………………………………⑤
即數列()是常數數列.
(II)由①有,所以.
由③有,所以,
而⑤表明:數列和分別是以,為首項,6為公差的等差數列.
所以,,.
由題設知,.當為奇數時,為奇數,而為偶數,所以不是數列中的項,只可能是數列中的項.
若是數列中的第項,由得,取,得,此時,由,得,,從而是數列中的第項.
(注:考生取滿足,的任一奇數,說明是數列中的第項即可)
21.解:(I)因為函數在區(qū)間,內分別有一個極值點,所以在,內分別有一個實根,
設兩實根為(),則,且.于是
,,且當,即,時等號成立.故的最大值是16.
(II)解法一:由知在點處的切線的方程是
,即,
因為切線在點處空過的圖象,
所以在兩邊附近的函數值異號,則
不是的極值點.
而,且
.
若,則和都是的極值點.
所以,即,又由,得,故.
解法二:同解法一得
.
因為切線在點處穿過的圖象,所以在兩邊附近的函數值異號,于是存在().
當時,,當時,;
或當時,,當時,.
設,則
當時,,當時,;
或當時,,當時,.
由知是的一個極值點,則,
所以,又由,得,故.