例1.解法一:
由已知得又
所以
解法二:
由已知
例2.本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識,平面解析幾何的基本方法和綜合解題能力.
(I)解法一:直線, ① 過原點垂直的直線方程為, ②
解①②得∵橢圓中心(0,0)關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上,
∵直線過橢圓焦點,∴該焦點坐標為(2,0).
故橢圓C的方程為 ③
解法二:直線.設原點關于直線對稱點為(p,q),則
解得p=3.∵橢圓中心(0,0)關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上,
∵直線過橢圓焦點,∴該焦點坐標為(2,0). 故橢圓C的方程為
③
(II)解法一:設M(),N().當直線m不垂直軸時,直線代入③,整理得
點O到直線MN的距離
即
即整理得當直線m垂直x軸時,也滿足.故直線m的方程為或或
經(jīng)檢驗上述直線均滿足.
所以所求直線方程為或
解法二:設M(),N().
當直線m不垂直軸時,直線代入③,整理得 ∵E(-2,0)是橢圓C的左焦點,∴|MN|=|ME|+|NE|
=以下與解法一相同.
解法三:設M(),N().設直線,代入③,整理得
即
∴=,整理得 解得或故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗上述直線方程為
所以所求直線方程為或或
例3.本小題主要考查平面向量的概念和計算,求軌跡的方法,橢圓的方程和性質,利用方程判定曲線的性質,曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力,
解:根據(jù)題設條件,首先求出點P坐標滿足的方程,據(jù)此再判斷是否存在兩定點,使得點P到兩定點距離的和為定值.
∵
i=(1,0),c=(0,a),∴ c+li=(l,a),i-2lc=(1,-2la).因此,直線OP和AP的方程為ly=ax 和 y-a=-2lax.消去參數(shù)l,得點P(x,y)的坐標滿足方程y(y-a)=-2a2x2,
整理得 . ①
因為a>0,所以得:(ⅰ)當時,方程①是圓方程,故不存在合乎題意的定點E和F;(ⅱ)當時,方程①表示橢圓,焦點和為合乎題意的兩個定點:(ⅲ)當時,方程①也表示橢圓,焦點和為合乎題意的兩個定點.