1.( 05重慶)已知A(3，1)，B(6，1)，C(4，3)，D為線段BC的中點，則向量與的夾角為　　　　　　　　　 　　　 (　　 )

　　　 A．　　 B．　　　　　 C．　　　 D．－

2.( 04全國2)已知平面上直線l的方向向量e=點O(0，0)和A(1，－2)在l上的射影分別是O′和A′，則e，其中=　　　

(A)　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)2　　　　　　　　　　 (D)－2

3.( 05湖北)已知向量不超過5，則k的取值范圍是　　　　　　 .

例1.( 05山東)已知向量和且　 求的值.

例2. (05福建)已知方向向量為v=(1,)的直線l過點(0，－2)和橢圓C：的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上.

(1)　　　 求橢圓C的方程；

(備)例3.( 03天津)已知常數(shù)a>0，向量c=(0，a)，i＝(1，0)．經(jīng)過原點O以c+li為方向向量的直線與經(jīng)過定點A(0，a)以i－2lc為方向向量的直線相交于點P，其中l∈R．試問：是否存在兩個定點E、F，使得| PE | + | PF |為定值．若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

1. (05山東)已知向量,且則一定共線的三點是　　 (　　 )

　　　 A．A、B、D　　B．A、B、C　　C．B、C、D　　D．A、C、D

2. (05廣東)已知向量則x=　　　　　　　 .

3. (04湖南)已知向量a=，向量b=，則|2a－b|的最大值是　　　　　　 .

1.　　　 條件甲：“四邊形是平行四邊形”是條件乙：“”成立的(　 )

　　　　　 A．充分不必要條件　　　　　　　　　　 B．必要不充分條件　

　　 C．充分必要條件　　　　　　　　　　　 D．既不充分又不必要條件

2.　　　　 已知平面上直線的方向向量，點O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分別是O₁和A₁，則＝，其中＝(　　 )

A．　　　 B．－　　　 C．2　　 D．－2

3.　　　　 下列條件中，不能確定三點A、B、P共線的是 (　 )

　　 　 A．　 B．

　　 　 C．　 D．

4.　　　　 在直角坐標(biāo)系中，O是原點，=(－2+cosθ,－2+sinθ) (θ∈R)，動點P在直線x=3上運動，若從動點P向Q點的軌跡引切線，則所引切線長的最小值為 (　 )

A． 　4 　　 B． 　5　 　　　C． 　2　 　　 D． 　　　

5.(05全國2)點P在平面上作勻速直線運動，速度向量v=(4，－3)(即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|v|個單位.設(shè)開始時點P的坐標(biāo)為(－10，10)，則5秒后點P的坐標(biāo)為　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．(－2，4)　　　　　 B．(－30，25)　　　 C．(10，－5)　　　　 D．(5，－10)

6.( 04天津)若平面向量與向量的夾角是，且，則　　 　 (A) 　　　 (B) 　　　 (C) 　 (D)

7. (04廣東)已知平面向量=(3，1)，=(x，–3)，且，則x=　　　　 　　　　　　　 (A)－3　　　　 (B)－1　　　　 　　　 (C)1　　　　　　 (D)3

8. (04上海)已知點A(1, －2),若向量與={2,3}同向,

　=2,則點B的坐標(biāo)為　　　　 .

9. (05全國3)已知向量，且A、B、C三點共線，則k=　　 　.

10. (03上海)在以O為原點的直角坐標(biāo)系中，點A(4，－3)為△OAB的直角頂點，已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標(biāo)大于零．(1)求向量的坐標(biāo); (2)求圓x²－6x+y²+2y＝0關(guān)于直線OB對稱的圓的方程;(3)是否存在實數(shù)a，使拋物線y＝ax2－1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由;若存在，求a的取值范圍．

11.已知△OFQ的面積為S，且=1⑴若<S<2,求向量與的夾角的取值范圍;

⑵設(shè)︱︱=C(c≥2),S=C,若以O(shè)為中心,F為焦點的橢圓經(jīng)過點Q,當(dāng)︱︱取最小值時,求此時橢圓的方程.

專題4　 平面向量(2)

1.(05北京)，則向量的夾角為　　　　 (　　 )

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　 C．120°　　　　　　　　 D．150°

2.(05浙江)已知向量≠，||＝1，對任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，則(　　 )

A．⊥　　　 B．⊥(－) 　C．⊥(－)　 D．(+)⊥(－)

3.(04浙江)已知平面上三點A、B、C滿足　則的值等于　　　　 .

例1. 已知向量

(1)求(2)若的最小值為的值.

例2.(05上海卷)在直角坐標(biāo)平面中，已知點，其中是正整數(shù)，對平面上任一點，記為關(guān)于點的對稱點，為關(guān)于點的對稱點，．．．，為關(guān)于點的對稱點。(Ⅰ)求向量的坐標(biāo)；(Ⅱ)當(dāng)點在曲線C上移動時，點的軌跡是函數(shù)的圖象，其中是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時，。求以曲線C為圖象的函數(shù)在上的解析式；

(Ⅲ)對任意偶數(shù)，用表示向量的坐標(biāo)。

(備)例3.(04福建)設(shè)函數(shù)f(x)= .，其中向量=(2cosx，1)，=(cosx， sin2x)，x∈R.(Ⅰ)若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；(Ⅱ)若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量=(m，n)(|m|<)平移后得到函數(shù)y=f(x)的圖象，求實數(shù)m、n的值.

1.(05江西)已知向量　 (　　 )

　　　 A．30°　　　　　　　　 B．60°

C．120°　　　　　　　 D．150°

2.(04湖北)已知為非零的平面向量. 甲：　　　　

　　　 (A)甲是乙的充分條件但不是必要條件

　　　 (B)甲是乙的必要條件但不是充分條件

　　　 (C)甲是乙的充要條件

　　　 (D)甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

3.(00上海卷)已知向量(－1，2)、=(3，m)，若┴，則m=　　　　 。

1.(04福建)已知、是非零向量且滿足(－2) ⊥，(－2) ⊥，則與的夾角是　　　　　 (A)　　　 　　　 (B)　　　 　　 (C)　　　 　　　 (D)

2.(04重慶)若向量的夾角為，,則向量的模為　　　 　(A)2　　　　 　　　(B)4　　　　 　(C)6　　　 　　　(D)12

3.(00天津)設(shè)、、是任意的非零平面向量，且相互不共線，則

①?、?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383845_1/image110.gif">?、?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383845_1/image111.gif">不與垂直

④　中，是真命題的有

(A) ①②　　　　　　　 (B) ②③　　　　　　　 (C) ③④　　　　　　　 (D) ②④

4.(04全國1)已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a+3b|=　　　　 　　　 (A)　　 (B)　　 (C)　　　 (D)4

5.若向量的夾角為，,則向量的模為(　　 )

A．　 2　　　　 　B．　　 4　　　　 　C．　　 6　　　　 D．　 12

6.(04全國4)向量a、b滿足(a－b).(2a+b)=－4，且|a|=2，|b|=4，則a與b夾角的

余弦值等于　　　　　　　　

7.(02上海)已知向量和的夾角為120°，且，，則＝　　　　。

8.(04江蘇卷)平面向量a，b中，已知a=(4，-3)，=1，且a.b=5，則向量b=__________.

9設(shè)=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，試求滿足+=的的坐標(biāo)，其中O為坐標(biāo)原點。

10.(05湖北)已知向量在區(qū)間(－1，1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍.

11．橢圓的兩焦點分別為、，直線是橢圓的一條準(zhǔn)線．

(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點在橢圓上，且，求的最大值和最小值．

專題4　 平面向量(1)答案

例1.解法一：

　　　 　

由已知得又

所以

解法二：

　由已知

例2.本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識，平面解析幾何的基本方法和綜合解題能力．

(I)解法一：直線，　 ① 過原點垂直的直線方程為，　 ②

解①②得∵橢圓中心(0，0)關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上，

∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標(biāo)為(2，0)．

　 故橢圓C的方程為　 ③

解法二：直線．設(shè)原點關(guān)于直線對稱點為(p，q)，則

解得p=3．∵橢圓中心(0，0)關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上，　 ∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標(biāo)為(2，0)．　故橢圓C的方程為　 ③

(II)解法一：設(shè)M()，N()．當(dāng)直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得

　

點O到直線MN的距離

即

　　　 即整理得當(dāng)直線m垂直x軸時，也滿足．故直線m的方程為或或

經(jīng)檢驗上述直線均滿足．

所以所求直線方程為或

解法二：設(shè)M()，N()．

當(dāng)直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得　∵E(－2，0)是橢圓C的左焦點，∴|MN|=|ME|+|NE|

=以下與解法一相同．

解法三：設(shè)M()，N()．設(shè)直線，代入③，整理得

　　

　　 即

　　

　　 ∴=，整理得　　　 解得或故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗上述直線方程為

所以所求直線方程為或或

例3.本小題主要考查平面向量的概念和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力，

解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值．

∵ i＝(1，0)，c＝(0，a)，∴ c+li=(l，a)，i－2lc=(1，－2la)．因此，直線OP和AP的方程為ly=ax 和 y－a＝－2lax．消去參數(shù)l，得點P(x，y)的坐標(biāo)滿足方程y(y－a)=­－2a²x²，

整理得　 ．　　　 ①

因為a>0，所以得：(ⅰ)當(dāng)時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；(ⅱ)當(dāng)時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點：(ⅲ)當(dāng)時，方程①也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點．

1.A　 2.D　 3.D　 4.C 　5.C　 　6.A　　　 7.C　 　8. (5,4)　　　 9．

10. 解：(1)設(shè)，則由即得或　　

　因為所以　 v－3>0，得　 v＝8，故　

(2)由得B(10，5)，于是直線OB方程：由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－3)²+(y+1)²＝10，得圓心(3，－1)，半徑為設(shè)圓心(3，－1)關(guān)于直線OB的對稱點為(x，y)，則得故所求圓的方程為(x－1)²+(y－3)²＝10．

(3)設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)為拋物線上關(guān)于直線OB對稱的兩點，則

得即x₁、x₂為方程的兩個相異實根，

于是由得故當(dāng)時，拋物線y =ax²－1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩點．

11.解:⑴由已知∴tan=2S,由<S<2,得1<tan<4.又∈(0,)∴⑵以O(shè)為原點,所在直線為X軸建立坐標(biāo)系,設(shè)所求∵S_△OFQ=︱︱•︱y₀︱=c,∴︱y₀︱=,∵=1,∴(c,0)•(x₀-c,y₀)=1,解得x₀=c+.∴︱︱==,注意到當(dāng)c≥2時,c+隨c的增大而增大,因此當(dāng)且僅當(dāng)c=2時,︱︱有最小值,此時點Q坐標(biāo)為(,-)或(,)∴解得,故所求橢圓方程為

專題4　 平面向量(2)答案

例1. 解：(1)．

(2)

當(dāng)λ<0時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=0時，f(x)取最小值－1，與已知矛盾．

當(dāng)0≤λ≤1時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=λ時，f(x)取最小值－1－2λ²，由已知得：－1－2λ²=－，解得：λ=．當(dāng)λ>1時，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得：矛盾．綜上所述：λ=為所求.

例2.解：(1)設(shè)點，A₀關(guān)于點P₁的對稱點A₁的坐標(biāo)為

A₁關(guān)于點P₂的對稱點A₂的坐標(biāo)為，所以，　

(2)解法一的圖象由曲線C向右平移2個單位，再向上平移4個單位得到。因此，基線C是函數(shù)的圖象，其中是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)

解法二設(shè)

若

當(dāng)　

(3)

由于，

例3.本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能，考查運算能力.

解：(Ⅰ)依題設(shè)，f(x)=2cos²x+sin2x=1+2sin(2x+).由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2 x +)=－.∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，即x=-.

(Ⅱ)函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)平移后得到函數(shù)y=2sin2(x－m)+n的圖象，即函數(shù)y=f(x)的圖象.

由(Ⅰ)得 f(x)=2sin2(x+)+1.∵|m|<，∴m=-，n=1.

9. (11，6)；

10.本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及運用基本函數(shù)的性質(zhì)分析和解決問題的能力。

解法1：依定義

開口向上的拋物線，故要使在區(qū)間(－1，1)上恒成立

.

解法2：依定義

的圖象是開口向下的拋物線，

11．解(1)依據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為，則由

，橢圓方程為．　　　　　　 (2)因為在橢圓上，故　　　 　

　　　　　　　　　 由平面幾何知識得　，即，所以．　

令，設(shè)且，則，

所以函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，從而當(dāng)時，原式取得最大值，當(dāng)時原式取得最小值．