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1.復數的實部為( ).
A. B. C. D.
高考數學模擬示范卷(三)
參考答案
江西金太陽教育研究所數學研究室 編
一.選擇題(本大題12個小題,每小題5分,共60分.)
題號 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
答案 |
D |
C |
B |
D |
A |
B |
B |
A |
C |
A |
D |
B |
二.填空題(本大題4個小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上)
13. 14. 15. 16.②
三.解答題(本大題6個小題,共74分,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)已知函數的反函數為,.
(Ⅰ)若,求的取值集合;
(Ⅱ)設函數,當時,求函數的值域.
解:(Ⅰ),.又,∴.
∴,故集合.
(Ⅱ)由(Ⅰ),.設,則為增函數.
∵,∴,即.故函數的值域為.
18.(本小題滿分12分)(Ⅰ)在中,若,求角的大小.
(Ⅱ)對于(Ⅰ)中的角,函數的圖象按向量平移后,對應的函數為偶函數,
求取最小值時的向量.
解:(Ⅰ)∵,∴.∵為三角形的內角,∴.
(Ⅱ).設,則按向量平移后得,.
當此函數為偶函數時,有,∴.又最小,
∴,故.
19.(本小題滿分12分)某人居住在城鎮(zhèn)的處,準備開車到單位處上班,若該地各路段發(fā)生堵車事
件都是相互獨立的,且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次,發(fā)生堵車事件的概率如圖(例如
算作兩個路段:路段發(fā)生堵車事件
的概率為,路段發(fā)生堵車事件的概率為).
(Ⅰ)請你為其選擇一條由到的最短路線(即此人只
選擇從西向東和從南向北的路線),使得途中發(fā)生
堵車事件的概率最?。?/p>
(Ⅱ)若記路線中遇到堵車次數為隨機變量,求的數學期望.
解:(Ⅰ)由到的最短路線有條,即為:,,.
;;
.故路線發(fā)生堵車事件的概率最小.
(Ⅱ)路線中遇到堵車次數可取值為.;
;;
. 故.
20.(本小題滿分12分)已知三棱錐中,在底面上的射影為
的重心,且.
(Ⅰ)求與底面所成的角的大??;
(Ⅱ)當二面角的大小最小時,求三棱錐的體積.
解:(Ⅰ)如圖,連并延長交于點,依題意知,就是與底
面所成的角,且為的中點.∴,.
在中,,∴,故與底面所成的角.
(Ⅱ)過點作于,連,則,∴為二面角的平面角.
在中,斜邊上的高為,∴.
在中,.∴二面角
的最小值為,當且僅當.∴.
21.(本小題滿分12分) 已知橢圓經過點,離心率,直線與
橢圓交于兩點(均異于點),且有.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求證:直線過定點.
(Ⅰ)解:易知,,,∴,,.故方程為.
(Ⅱ)證明:設:與橢圓的方程聯立,消去得,.
設,則.
,
∴.若,則:,
∴直線過定點.若,則:,∴直線過定點,
即為點(舍去).若斜率不存在,易知,符合題意. 綜上,直線過定點.
22.(本小題滿分14分)已知函數關于點成中心對稱,且.
(Ⅰ)求函數的表達式;
(Ⅱ)設數列滿足條件:,.
求證:.
(Ⅰ)解:由題意,,即,∴
對一切實數恒成立.得,又由得,
.故函數的表達式為.
(Ⅱ)證明:,∴.令,
則,,,∴.
故
.