高考數(shù)學(xué)模擬示范卷(三)

參考答案

江西金太陽教育研究所數(shù)學(xué)研究室　　 編

一.選擇題(本大題12個(gè)小題,每小題5分,共60分.)

二.填空題(本大題4個(gè)小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上)

　　　 13.　　　　　　　　　　　 14.　　　　　　　　　　 15.　　　　　　　　　　　 16.②

三.解答題(本大題6個(gè)小題,共74分,解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

　17.(本小題滿分12分)已知函數(shù)的反函數(shù)為,.

　　 (Ⅰ)若,求的取值集合；

　　 (Ⅱ)設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.

　 解：(Ⅰ),.又,∴.

　　 　　∴,故集合.

　　 (Ⅱ)由(Ⅰ),.設(shè),則為增函數(shù).

　　　　 ∵,∴,即.故函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383856_1/image161.gif">.

　18.(本小題滿分12分)(Ⅰ)在中,若,求角的大小.

　　 (Ⅱ)對于(Ⅰ)中的角,函數(shù)的圖象按向量平移后,對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù),

　　　　 求取最小值時(shí)的向量.

　 解：(Ⅰ)∵,∴.∵為三角形的內(nèi)角,∴.

　　 (Ⅱ).設(shè),則按向量平移后得,.

　　　　　 當(dāng)此函數(shù)為偶函數(shù)時(shí),有,∴.又最小,

　　　　　 ∴,故.

　19.(本小題滿分12分)某人居住在城鎮(zhèn)的處,準(zhǔn)備開車到單位處上班,若該地各路段發(fā)生堵車事

　　　　 件都是相互獨(dú)立的,且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次,發(fā)生堵車事件的概率如圖(例如

　　　　 算作兩個(gè)路段：路段發(fā)生堵車事件

　　　　 的概率為,路段發(fā)生堵車事件的概率為).

　　 (Ⅰ)請你為其選擇一條由到的最短路線(即此人只

　　　　　　 選擇從西向東和從南向北的路線),使得途中發(fā)生

　　　　　　 堵車事件的概率最??；

　　 (Ⅱ)若記路線中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量,求的數(shù)學(xué)期望.

　 解：(Ⅰ)由到的最短路線有條,即為：,,.

　　　 ；；

　　　 .故路線發(fā)生堵車事件的概率最小.

　 (Ⅱ)路線中遇到堵車次數(shù)可取值為.；

　　　　 ；；

　　　　 .　 故.

　20.(本小題滿分12分)已知三棱錐中,在底面上的射影為

　　　 的重心,且.

　　 (Ⅰ)求與底面所成的角的大小；

　　 (Ⅱ)當(dāng)二面角的大小最小時(shí),求三棱錐的體積.

　 解：(Ⅰ)如圖,連并延長交于點(diǎn),依題意知,就是與底

　　　　 面所成的角,且為的中點(diǎn).∴,.

　　　　 在中,,∴,故與底面所成的角.

　　 (Ⅱ)過點(diǎn)作于,連,則,∴為二面角的平面角.

　　　　　 在中,斜邊上的高為,∴.

　　　　　 在中,.∴二面角

　　　　　 的最小值為,當(dāng)且僅當(dāng).∴.

　21.(本小題滿分12分) 已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率,直線與

　　　 橢圓交于兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)),且有.

　　 (Ⅰ)求橢圓的方程；

　　 (Ⅱ)求證：直線過定點(diǎn).

　　 (Ⅰ)解：易知,,,∴,,.故方程為.

　　 (Ⅱ)證明：設(shè)：與橢圓的方程聯(lián)立,消去得,.

　　　　 設(shè),則.

　　　 ,

　　　 ∴.若,則：,

　　 ∴直線過定點(diǎn).若,則：,∴直線過定點(diǎn),

　　　 即為點(diǎn)(舍去).若斜率不存在,易知,符合題意.　　　 綜上,直線過定點(diǎn).

　 22.(本小題滿分14分)已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,且.

　　 (Ⅰ)求函數(shù)的表達(dá)式；

　　 (Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足條件：,.

　　　　　　 求證：.

　　 (Ⅰ)解：由題意,,即,∴

　　　　 對一切實(shí)數(shù)恒成立.得,又由得,

　　　　 .故函數(shù)的表達(dá)式為.

　　 (Ⅱ)證明：,∴.令,

　　　　　 則,,,∴.

　　　　　 故

　　　　　　　　 .