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13. 在正方體中,E、F分別是、DC的中點(diǎn),直線與平面ADE所成的角是 。
[試題答案]
一.
1-6 DDCDDC 7-12 DDCBCB
二.
13. 14. 15. ①③⑥ 16. ②③④①或①③④②
三.
17. 如圖甲所示,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE于M,延長(zhǎng)DM與BC交于N,在翻折過(guò)程中DM⊥AE,MN⊥AE保持不變,翻折后,如圖乙,為二面角的平面角,,AE⊥平面DMN,又因?yàn)?sub>平面,則平面平面DMN
圖甲 圖乙
(1)在平面DMN內(nèi),作DO⊥MN于O
∵ 平面AC⊥平面DNM ∴ DO⊥平面AC
連結(jié)OE,DO⊥OE,為DE與平面AC所成的角
如圖甲,在直角三角形ADE中,AD=3,DE=2
,
如圖乙,在直角三角形DOM中,,
在直角三角形DOE中,
則 ∴ DE與平面AC所成的角為
(2)如圖乙,在平面AC內(nèi),作OF⊥EC于F,連結(jié)DF
∵ DO⊥平面AC ∴ DF⊥EC ∴ 為二面角的平面角
如圖甲,作 于F,則∽
∴
如圖乙,在中,
如圖甲,,
在中,
∴ 二面角的大小為
18. 解法一:
(1)建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系。
設(shè),則(0,0,),C(0,,0),C1(0,,),D(,0,),于是,。
∵
∴ 異面直線與所成的角為
(2)∵ ,,
∴ ,
則, ∴ ⊥平面ADC,又平面
∴ 平面平面
解法二
(1)連結(jié)交于點(diǎn)E,取AD中點(diǎn)F,連結(jié)EF,則EF∥C1D
∴ 直線EF與A1C所成的角就是異面直線與所成的角
設(shè) 則
中,
直三棱柱中,面ABC,,則
∵
∴ 異面直線與所成的角為
(2)直三棱柱中, ∴ 平面,則
又 ,,,則,于是
∴ 平面,又 平面
∴ 平面平面ADC
19.
(1)在平面中, 又
∴ 即,
∴ 平面ABC
(2)∵ P是SA的中點(diǎn),O是AC的中點(diǎn) ∴ OP∥SC 而平面BOP
平面BOP ∴ SC∥平面BOP
(3)由SO⊥平面ABC知平面SAC⊥平面ABC
又等腰直角中,BO⊥AC,∴ BO⊥平面SAC
在中,作OM⊥SC于M,連BM,則BM⊥SC
∴ 為二面角的平面角
由,OM⊥OB知,OM⊥平面BOP
∴ OM是SC與平面BOP的距離,
又
在中, ∴
即二面角的大小為。
20.
(1)證法一:在上取點(diǎn),上取點(diǎn)Q,使
,由已 知得
∴ 且
在平面AA1B1B中同理可證QQ1∥AB,且
∴ ∴ PQ∥P1Q1 又 平面
∴ //平面AA1D1D
證法二:
以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,使下列各點(diǎn)的坐標(biāo)為D1(0,0,1),B1(1,1,1),A1(1,0,1),B(1,1,0),又已知P(,,1),Q(1,,),在、上取點(diǎn)P1、Q1,使?jié)M足,,則由定比分點(diǎn)公式得,,∴ ,
∴ ∴ PQ//平面AA1D1D
(2)解法一:
取AB中點(diǎn),CC1中點(diǎn)連、、,則,
∴ 即為AM與CN所成的角
在中,
,由余弦定理得
∴ AM與CN所成的角為。
解法二:
以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,使下列各點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0,0),M(1,,1),N(1,1,),C(0,1,0)
∴ ,
∴
∴ AM與CN所成的角為
(3)解法一:
能找到點(diǎn)H?!? ∴ BH在底面的射影為BD,則BH⊥EF恒成立,若BH⊥平面BEF,則HB⊥B1F必成立。設(shè)H在BB1C1C內(nèi)射影為H1,必成立。
易證,∴ ,即H1是CC1中點(diǎn)。
∴ H也必是DD1中點(diǎn),∴ 這樣的點(diǎn)存在且是DD1之中點(diǎn)。
解法二:
以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)H坐標(biāo)為(0,0,),B1(1,1,0),B(1,1,0),F(xiàn)(,1,0),BH⊥EF恒成立(如解法一)
若BH⊥平面B1EF,則BH⊥B1F。即
又,
∴ 即
∴ ,故存在點(diǎn)H是DD1之中點(diǎn)
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