[試題答案]

一.

1-6 DDCDDC　　　　　 7-12 DDCBCB

二.

13. 　　　　14. 　　　　15. ①③⑥　　　 16. ②③④①或①③④②

三.

17. 如圖甲所示，過點(diǎn)D作DM⊥AE于M，延長(zhǎng)DM與BC交于N，在翻折過程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不變，翻折后，如圖乙，為二面角的平面角，，AE⊥平面DMN，又因?yàn)?sub>平面，則平面平面DMN

圖甲　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 圖乙

(1)在平面DMN內(nèi)，作DO⊥MN于O

∵ 平面AC⊥平面DNM　　　 ∴ DO⊥平面AC

連結(jié)OE，DO⊥OE，為DE與平面AC所成的角

如圖甲，在直角三角形ADE中，AD=3，DE=2

，

如圖乙，在直角三角形DOM中，，

在直角三角形DOE中，

則　　　 ∴ DE與平面AC所成的角為

(2)如圖乙，在平面AC內(nèi)，作OF⊥EC于F，連結(jié)DF

∵ DO⊥平面AC　　　 ∴ DF⊥EC　　 ∴ 為二面角的平面角

如圖甲，作　　　　　　 于F，則∽

　　 ∴

如圖乙，在中，

如圖甲，，

在中，

∴ 二面角的大小為

18. 解法一：

(1)建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系。

設(shè)，則(0，0，)，C(0，，0)，C₁(0，，)，D(，0，)，于是，。

∵

∴ 異面直線與所成的角為

(2)∵ ，，

∴ ，

則，　　 ∴ ⊥平面ADC，又平面

∴ 平面平面

解法二

(1)連結(jié)交于點(diǎn)E，取AD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EF∥C₁D

∴ 直線EF與A₁C所成的角就是異面直線與所成的角

設(shè)　　 則　　

　　　　 中，

直三棱柱中，面ABC，，則

∵

∴ 異面直線與所成的角為

(2)直三棱柱中，　 ∴ 平面，則

又 ，，，則，于是

∴ 平面，又 平面

∴ 平面平面ADC

19.

(1)在平面中，　　 又

∴ 　　即，

∴ 平面ABC

(2)∵ P是SA的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)　　　 ∴ OP∥SC　　 而平面BOP

平面BOP　　 ∴ SC∥平面BOP

(3)由SO⊥平面ABC知平面SAC⊥平面ABC

又等腰直角中，BO⊥AC，∴ BO⊥平面SAC

在中，作OM⊥SC于M，連BM，則BM⊥SC

∴ 為二面角的平面角　

由，OM⊥OB知，OM⊥平面BOP　　

∴ OM是SC與平面BOP的距離，

又

在中，　　 ∴

即二面角的大小為。

20.

(1)證法一：在上取點(diǎn)，上取點(diǎn)Q，使

，由已　　　　　　 知得

∴ 且

在平面AA₁B₁B中同理可證QQ₁∥AB，且

∴ 　　∴ PQ∥P₁Q₁　　 又 平面

∴ //平面AA₁D₁D

證法二：

以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，使下列各點(diǎn)的坐標(biāo)為D₁(0，0，1)，B₁(1，1，1)，A₁(1，0，1)，B(1，1，0)，又已知P(，，1)，Q(1，，)，在、上取點(diǎn)P₁、Q₁，使?jié)M足，，則由定比分點(diǎn)公式得，，∴ ，

∴ 　　　∴ PQ//平面AA₁D₁D

(2)解法一：

取AB中點(diǎn)，CC­₁中點(diǎn)連、、，則，

∴ 即為AM與CN所成的角

在中，

，由余弦定理得

∴ AM與CN所成的角為。

解法二：

以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，使下列各點(diǎn)坐標(biāo)為A(1，0，0)，M(1，，1)，N(1，1，)，C(0，1，0)

∴ ，

∴

∴ AM與CN所成的角為

(3)解法一：

能找到點(diǎn)H?！?　　∴ BH在底面的射影為BD，則BH⊥EF恒成立，若BH⊥平面BEF，則HB⊥B₁F必成立。設(shè)H在BB₁C₁C內(nèi)射影為H₁，必成立。

易證，∴ ，即H_1­是CC₁中點(diǎn)。

∴ H也必是DD₁中點(diǎn)，∴ 這樣的點(diǎn)存在且是DD₁之中點(diǎn)。

解法二：

以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)H坐標(biāo)為(0，0，)，B₁(1，1，0)，B(1，1，0)，F(xiàn)(，1，0)，BH⊥EF恒成立(如解法一)

若BH⊥平面B₁EF，則BH⊥B₁F。即

又，　　

∴ 　　　即　

∴ ，故存在點(diǎn)H是DD₁之中點(diǎn)