20.(本小題滿分14分)
已知正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)圓是的內(nèi)接圓(點(diǎn)為圓心)
(I)求圓的方程;
(II)設(shè)圓的方程為,過圓上任意一點(diǎn)分別作圓的兩條切線,切點(diǎn)為,求的最大值和最小值.
本小題主要考查平面向量,圓與拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基本知識(shí),考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問題的能力.滿分14分.
(I)解法一:設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,由題設(shè)知
.
解得,
所以,或,.
設(shè)圓心的坐標(biāo)為,則,所以圓的方程為
.................................................................................. 4分
解法二:設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,由題設(shè)知
.
又因?yàn)椋?,可得.?
.
由,,可知,故兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,所以圓心在軸上.
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)坐標(biāo)為,于是有,解得,所以圓的方程為.................................................................................. 4分
(II)解:設(shè),則
................................. 8分
在中,,由圓的幾何性質(zhì)得
,,
所以,由此可得
.
則的最大值為,最小值為.
江西理