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21.(本小題滿分12分)
設(shè)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離分別為和,,且存在常數(shù),使得.
(1)證明:動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線,并求出的方程;
(2)過點(diǎn)作直線雙曲線的右支于兩點(diǎn),試確定的范圍,使,其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).
解法一:(1)在中,,即,
,即(常數(shù)),
點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線.
方程為:.
(2)設(shè),
①當(dāng)垂直于軸時(shí),的方程為,,在雙曲線上.
即,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image626.gif">,所以.
②當(dāng)不垂直于軸時(shí),設(shè)的方程為.
由得:,
由題意知:,
所以,.
于是:.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image635.gif">,且在雙曲線右支上,所以
.
由①②知,.
解法二:(1)同解法一
(2)設(shè),,的中點(diǎn)為.
①當(dāng)時(shí),,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image626.gif">,所以;
②當(dāng)時(shí),.
又.所以;
由得,由第二定義得
.
所以.
于是由得
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383987_1/image652.gif">,所以,又,
解得:.由①②知.
江西文
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