數(shù)學(xué)(理工類)答案

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5分，滿分50分．

(1)A　　　　　　　　　 (2)D　　　　　　　　　 (3)D　　　　　　　　　 (4)B　　　　　　　　　 (5)A

(6)B　　　　　　　　　 (7)C　　　　　　　　　 (8)D　　　　　　　　　 (9)B　　　　　　　　　 (10)C

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算．每小題4分，滿分28分．

(11)　　　　　　　　 (12)　　　　　　　　 (13)　　　　　　　　　 (14)

(15)　　　　　　　　　　　　　 (16)　　　　　　　　　　　 (17)

三、解答題

(18)解：(I)由題意及正弦定理，得，

，

兩式相減，得．

(II)由的面積，得，

由余弦定理，得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　，

所以．

(19)本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運算等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力．滿分14分．

方法一：

(I)證明：因為，是的中點，

所以．

又平面，

所以．

(II)解：過點作平面，垂足是，連結(jié)交延長交于點，連結(jié)，．

是直線和平面所成的角．

因為平面，

所以，

又因為平面，

所以，

則平面，因此．

設(shè)，，

在直角梯形中，

，是的中點，

所以，，，

得是直角三角形，其中，

所以．

在中，，

所以，

故與平面所成的角是．

方法二：

如圖，以點為坐標(biāo)原點，以，分別為軸和軸，過點作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，．，．

(I)證明：因為，，

所以，

故．

(II)解：設(shè)向量與平面垂直，則，，

即，．

因為，，

所以，，

即，

，

直線與平面所成的角是與夾角的余角，

所以，

因此直線與平面所成的角是．

(20)本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分14分．

(Ⅰ)解：設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，

由，解得，

所以

．

當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值．

(Ⅱ)解：由

得，

，

．　　　　　　　　　　　　　　　 ②

設(shè)到的距離為，則

，

又因為，

所以，代入②式并整理，得

，

解得，，代入①式檢驗，，

故直線的方程是

或或，或．

21．本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識，考查運算及推理能力．滿分15分．

(I)解：方程的兩個根為，，

當(dāng)時，，

所以；

當(dāng)時，，，

所以；

當(dāng)時，，，

所以時；

當(dāng)時，，，

所以．

(II)解：

．

(III)證明：，

所以，

．

當(dāng)時，

，

，

同時，

．

綜上，當(dāng)時，．

22．本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力．滿分15分．

(I)解：．

由，得

．

因為當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，

單調(diào)遞減區(qū)間是．

(II)證明：(i)方法一：

令，則

，

當(dāng)時，由，得，

當(dāng)時，，

所以在內(nèi)的最小值是．

故當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立．

方法二：

對任意固定的，令，則

，

由，得．

當(dāng)時，．

當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，取得最大值．

因此當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立．

(ii)方法一：

．

由(i)得，對任意正實數(shù)成立．

即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．

下面證明的唯一性：

當(dāng)，，時，

，，

由(i)得，，

再取，得，

所以，

即時，不滿足對任意都成立．

故有且僅有一個正實數(shù)，

使得對任意正實數(shù)成立．

方法二：對任意，，

因為關(guān)于的最大值是，所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是：

，

即，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又因為，不等式①成立的充分必要條件是，

所以有且僅有一個正實數(shù)，

使得對任意正實數(shù)成立．