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(18)(本題14分)已知的周長(zhǎng)為,且.
(I)求邊的長(zhǎng);
(II)若的面積為,求角的度數(shù).
(19)(本題14分)在如圖所示的幾何體中,平面,平面,,且,是的中點(diǎn).
(I)求證:;
(II)求與平面所成的角.
(20)(本題14分)如圖,直線與橢圓交于兩點(diǎn),記的面積為.
(I)求在,的條件下,的最大值;
(II)當(dāng),時(shí),求直線的方程.
(21)(本題15分)已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根,且.
(I)求,,,;
(II)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅲ)記,
,
求證:.
(22)(本題15分)設(shè),對(duì)任意實(shí)數(shù),記.
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)求證:(ⅰ)當(dāng)時(shí),對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立;
(ⅱ)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立.
數(shù)學(xué)(理工類(lèi))答案
一、選擇題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分,滿分50分.
(1)A (2)D (3)D (4)B (5)A
(6)B (7)C (8)D (9)B (10)C
二、填空題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分,滿分28分.
(11) (12) (13) (14)
(15) (16) (17)
三、解答題
(18)解:(I)由題意及正弦定理,得,
,
兩式相減,得.
(II)由的面積,得,
由余弦定理,得
,
所以.
(19)本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力.滿分14分.
方法一:
(I)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image148.gif">,是的中點(diǎn),
所以.
又平面,
所以.
(II)解:過(guò)點(diǎn)作平面,垂足是,連結(jié)交延長(zhǎng)交于點(diǎn),連結(jié),.
是直線和平面所成的角.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image150.gif">平面,
所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image160.gif">平面,
所以,
則平面,因此.
設(shè),,
在直角梯形中,
,是的中點(diǎn),
所以,,,
得是直角三角形,其中,
所以.
在中,,
所以,
故與平面所成的角是.
方法二:
如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以,分別為軸和軸,過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,.,.
(I)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image190.gif">,,
所以,
故.
(II)解:設(shè)向量與平面垂直,則,,
即,.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image200.gif">,,
所以,,
即,
,
直線與平面所成的角是與夾角的余角,
所以,
因此直線與平面所成的角是.
(20)本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分14分.
(Ⅰ)解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,
由,解得,
所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取到最大值.
(Ⅱ)解:由
得,
,
. ②
設(shè)到的距離為,則
,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image227.gif">,
所以,代入②式并整理,得
,
解得,,代入①式檢驗(yàn),,
故直線的方程是
或或,或.
21.本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí),考查運(yùn)算及推理能力.滿分15分.
(I)解:方程的兩個(gè)根為,,
當(dāng)時(shí),,
所以;
當(dāng)時(shí),,,
所以;
當(dāng)時(shí),,,
所以時(shí);
當(dāng)時(shí),,,
所以.
(II)解:
.
(III)證明:,
所以,
.
當(dāng)時(shí),
,
,
同時(shí),
.
綜上,當(dāng)時(shí),.
22.本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.滿分15分.
(I)解:.
由,得
.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,,
單調(diào)遞減區(qū)間是.
(II)證明:(i)方法一:
令,則
,
當(dāng)時(shí),由,得,
當(dāng)時(shí),,
所以在內(nèi)的最小值是.
故當(dāng)時(shí),對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立.
方法二:
對(duì)任意固定的,令,則
,
由,得.
當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),,
所以當(dāng)時(shí),取得最大值.
因此當(dāng)時(shí),對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立.
(ii)方法一:
.
由(i)得,對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立.
即存在正實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立.
下面證明的唯一性:
當(dāng),,時(shí),
,,
由(i)得,,
再取,得,
所以,
即時(shí),不滿足對(duì)任意都成立.
故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù),
使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立.
方法二:對(duì)任意,,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image318.gif">關(guān)于的最大值是,所以要使對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是:
,
即, ①
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384002_1/image309.gif">,不等式①成立的充分必要條件是,
所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù),
使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立.
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