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(三)解答題
17.如圖,三角形ABC中,點M是BC的中點,點N在邊AC上,AN=2NC,AM與BN相交于點P,求AP:PM的值.
解:設(shè),則 又設(shè) 則由得 ∴ Þ ∴AP:PM=4∶1
18.設(shè)平面內(nèi)兩個向量a、b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k與t是兩個不同時為0的實數(shù),
(1)若x=a+(t-3)b與y=-ka+tb垂直,求k關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式k=f(t)
(2)求函數(shù)k=f(t)的最小值.
解:(1)因為a、b互相垂直,故a.b=0,
又x、y互相垂直,故x.y=0,即(a+(t-3)b).(-ka+tb)=0
Þ -ka2-k(t-3)a.b+ta.b+t(t-3)b2=0
∵|a|=2,|b|=1,a.b=0,
∴-4k+t2-3t=0
即k=f(t)=(t2-3t)
(2)由(1)知,k=(t-)2-
∴當(dāng)t=時,函數(shù)的最小值為-.
19.如圖:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點,棱長AA1=a.
(1)證明:AD⊥D1F;
(2)求AE與D1F所成的角;
(3)求四面體A1D1EF的體積。
解法一:設(shè)基底{}
∵ ABCD-A1B1C1D1是正方體,棱長為a
∴ =a
且
(1)∵
=
=0
∴
即 AD⊥D1F
(2)∵ cos<
=
=
=0
∴ <>=90º
也就是AE與D1F所成角為90º.
(3)取CC1中點G,因為EG∥平面A1D1F,則四面體A1D1EF的體積等于四面體A1D1GF的體積.
即VA1D1EF=VA1D1FG=S△D1FG.A1D1=×a2×a=a3.
解法二:以D為坐標(biāo)原點,DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。
于是有:D(0,0,0),A(a,0,0),D1(0,0,a),E(a,a,),F(xiàn)(0,,0)
∴ =(0,0,0)-(a,0,0)=(-a,0,0)
=(0,,0)-(0,0,a)=(0,,-a)
=(a,a,)-(a,0,0)=(0,a,)
=(0,,0)-(a,a,)=(-a,-,-)
(1)∵ =(-a,0,0).(0,,-a)=0
∴
即 AD⊥D1F
(2)∵ cos<=0
∴ <>=90º
(3)設(shè)平面A1D1F的一個法向量為=(x,y,z)
由且=(a,0,0)
∴x=0
由且=(0,,-a)
得y-2z=0
不妨設(shè)y=2,z=1,則=(0,2,1)
于是面A1D1F上的高為d=||==
而S△A1D1F=A1D1×D1F=a×a=a2
∴V=×a2×=a3.
20.已知兩點M(-1,0),N(1,0),且點P使成公差小于零的等差數(shù)列.
(1)點P的軌跡是什么曲線?
(2)若點P坐標(biāo)為(x0,y0),θ為與的夾角,求tanθ.
解:(1)記P(x,y),由M(-1,0),N(1,0)得=-=(-1-x,-y),
=-=(1-x,-y),=-=(2,0)
∴.=2(1+x),.=x2+y2-1,.=2(1-x).
于是,.,.,.是公差小于零的等差數(shù)列等價于
即
所以,點P的軌跡是以原點為圓心,為半徑的右半圓.
(2)點P的坐標(biāo)為(x0,y0).
.=x02+y02-1=2.
||.||=.
∴cosθ=
由θ∈[0,π],sinθ=
所以tanθ==|y0|
21.如圖,在四棱錐E-ABCD中,
AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,
AB=BC=CE=2CD= 2, ∠BCE=1200.
(1)求證:平面ADE⊥平面ABE ;
(2)求點C到平面ADE的距離.
解法一:取BE的中點O,連OC.
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖,
則由已知條件有:,,
,
設(shè)平面ADE的法向量為n=,
則由n.
及n.
可取n
又AB⊥平面BCE. ∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE
∴平面ABE的法向量可取為m=.
∵n.m.=0,
∴n⊥m∴平面ADE⊥平面ABE.
⑵點C到平面ADE的距離為
22.已知=(x,0),=(1,y),且(.
(1)求點P(x,y)的軌跡C的方程;
(2)若直線l:y=kx+m(m≠0)與曲線C交于A、B兩點,D(0,-1),且有|AD|=|BD|,試求m的取值范圍.
解:(1)由(
得2-32=0,即x2-3y2=0 故點P(x,y)的軌跡C的方程為-y2=1
(2)由方程組消去y得:(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0
顯然1-3m2≠0,△=(6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0 (*)
設(shè)x1、x2為方程(*)的兩個根,則x1+x2=
∴x0=,y0=kx0+m=
即AB的中點坐標(biāo)為()
∴線段AB的垂直平分線方程為:y-=(-)(x-)
將D(0,-1)代入并化簡得:4m=3k2-1
故m、k滿足
消去k2得:m2-4m>0
∴m<0或m>4
又∵4m=3k2-1>-1,∴m>-
所以 m∈(-,0)∪(4,+∞).