2009 年 湖 南 省 六 校 聯(lián) 考

湖南師大附中 長(zhǎng)沙市一中 常德市一中 株洲市二中 湘潭市一中

數(shù)學(xué)試題（理科）

 

時(shí)量：120分鐘   滿分：150分

 

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．集合              （    ）

       A．M                       B．N                       C．{0，1，2}          D．{1}

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2．復(fù)數(shù)（a為實(shí)數(shù)）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則a的取值范圍是（    ）

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       A．          B．          C．          D．

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3．在等差數(shù)列中，則此數(shù)列前的20項(xiàng)之和等于

                                                                                                                              （    ）

       A．50                      B．60                      C．70                      D．80

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4．若動(dòng)直線與函數(shù)的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為                                  （    ）

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       A．                                                   B．1

       C．2                                                        D．3

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5．設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為2，則此雙曲線的方程為                                                     （    ）

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6．如圖，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD

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是邊BC上的高，則的值等于（    ）

A．0                        B．12                      C．24                      D．―12

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7．已知等比數(shù)列的公比為q，且有，則首項(xiàng)x1的取值范圍是（    ）

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A．                                  B．

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C．                                       D．

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8．定義域和值域均為（常數(shù)a>0）的函數(shù)和的圖象如圖所示，給出下列四個(gè)命題

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       ②方程有且僅有三個(gè)解；    

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       ③方程有且僅有九個(gè)解；

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       ④方程有且僅有一個(gè)解；

那么，其中正確命題的個(gè)數(shù)是                                                                          （    ）

A．1                        B．2                        C．3                        D．4

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二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.將答案填在題中橫線上.

9． 一名高三學(xué)生希望報(bào)名參加某6所高校的3所學(xué)校的自主招生考試，由于其中兩所學(xué)校的考試時(shí)間相同，因此，該學(xué)生不能同時(shí)報(bào)考這兩所學(xué)校，則該學(xué)生不同的報(bào)名方法種數(shù)是            （用數(shù)字作答）

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10．若，且a=669b，則n=            .

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11．頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是            .

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12．已知

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+與0的大小關(guān)系為            .

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13．已知函數(shù)在區(qū)間[―1，2]上是減函數(shù)，則b+c的最大值是            .

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14．兩個(gè)腰長(zhǎng)為1的等腰Rt△ABC1和等腰Rt△ABC2所在平面成60°的二面角，則兩點(diǎn)C1和C2之間的距離有           種不同的值，其中一個(gè)距離為               .

 

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15．定義：已知兩數(shù)a，b，按規(guī)則得到一個(gè)數(shù)c，使稱c為“湘數(shù)”，現(xiàn)有數(shù)1和4，①按上述規(guī)則操作三次后得到的最大“湘數(shù)”為61；②2010不是“湘數(shù)”；③c-1總能被2整除；④c-1總能被10整除，其中正確的說(shuō)法是           .（寫出所有滿足要求的序號(hào)）.

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三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

16．（本小題滿分12分）

△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，已知

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（1）試判斷△ABC的形狀；

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（2）若的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

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17．（本小題滿分12分）

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       甲、乙兩個(gè)奧運(yùn)會(huì)舉辦城市之間有7條網(wǎng)線并聯(lián)，這7條網(wǎng)線能通過(guò)的信息量分別為1，1，2，2，2，3，3（信息流量單位），現(xiàn)從中任選三條網(wǎng)線，設(shè)可通過(guò)的信息量為。若可通 過(guò)的信息量≥6，則可保證信息通暢。

   （1）求線路信息通暢的概率；

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   （2）求線路可通過(guò)的信息量的分布列和數(shù)學(xué)期望。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分12分）

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       如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，ABD和BCD均為等邊三角形，AB=2，

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       AC=。

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   （2）求二面角A―BC―D的大��；

   （3）求O點(diǎn)到平面ACD的距離。

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分13分）

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       為了綠化某一塊荒地，3月份某單位決定在如圖的每一點(diǎn)（）處植一棵樹(shù)，其中（a＞1，i＞1，2，…），規(guī)定。

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   （1）在由這些樹(shù)連接而成的折線P0P1P2…Pn與坐標(biāo)軸及直線l：x=Sn(n=1,2…)圍成的區(qū)域中種植綠草，設(shè)草坪面積為An，求An及An；

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20．（本小題滿分13分）

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橢圓C的中心為原點(diǎn)O，短軸端點(diǎn)分別為B1、B2，右焦點(diǎn)為，若 為正三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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（2）過(guò)橢圓C內(nèi)一點(diǎn)作直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程；

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（3）在（2）的條件下，求面積的最大值.

 

 

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21．（本小題滿分13分）

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已知定義在上的兩個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線傾斜角的大小為

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（1）求的解析式；

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（2）試求實(shí)數(shù)k的最大值，使得對(duì)任意恒成立；

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（3）若，

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求證：

 

 

 

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一、

DACCA  BDB

二、

9．16    10．2009      11．      12．     

13．    14．3        15．②③

三、

16．解：（1）由余弦定理得：

是以角C為直角的直角三角形.……………………6分

（2）中

………………①

………………②

②÷①得，

則……………………12分

17．解：（1）因?yàn)?sub>……………………………………（2分）

       ……………………………………………………（4分）

      

所以線路信息通暢的概率為。………………………（6分）

   （2）的所有可能取值為4，5，6，7，8。

      

       ……………………………………………………………（9分）

       ∴的分布列為

4

5

6

7

8

P

       …………………………………………………………………………………………（10分）

∴E=4×+5×+6×+7×+8×=6。……………………（12分）

18．解：解法一：（1）證明：連結(jié)OC，

∵ABD為等邊三角形，O為BD的中點(diǎn)，∴AO

垂直BD�！�1分）

       ∴ AO=CO=。………………………………………………………………………（2分）

       在AOC中，AC=，∴AO2+CO2=AC2，

∴∠AOC=900，即AO⊥OC。

       ∴BDOC=O，∴AO⊥平面BCD�！�3分）

   （2）過(guò)O作OE垂直BC于E，連結(jié)AE，

    ∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影為OE。

    ∴AE⊥BC。

    ∠AEO為二面角A―BC―D的平面角�！�7分）

       在RtAEO中，AO=，OE=，

∠，

       ∴∠AEO=arctan2。

       二面角A―BC―D的大小為arctan2。

       （3）設(shè)點(diǎn)O到面ACD的距離為∵VO-ACD=VA-OCD，

∴。

       在ACD中，AD=CD=2，AC=，

。

∴。

       ∴點(diǎn)O到平面ACD的距離為�！�12分）

解法二：（1）同解法一。

       （2）以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

       則O（0，0，0），A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（-1，0，0）

       ∵AO⊥平面DCD，

       ∴平面BCD的法向量=(0,0,)�！�5分）

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       ，
       由。設(shè)與夾角為，
       則。
       ∴二面角A―BC―D的大小為arccos�！�8分）
   （3）解：設(shè)平面ACD的法向量為又
�！�11分）
設(shè)與夾角為，則
設(shè)O到平面ACD的距離為，
∵,
∴O到平面ACD的距離為�！�12分）19．解：（1）.
…共線，該直線過(guò)點(diǎn)P1（a,a），
斜率為……………………3分
當(dāng)時(shí)，An是一個(gè)三角形與一個(gè)梯形面積之和（如上圖所示），梯形面積是
于是
故…………………………7分
（2）結(jié)合圖象，當(dāng)
，……………………10分
而當(dāng)
，
故當(dāng)1<a>2時(shí)，存在正整數(shù)n，使得……………………13分
20．解：（1）
設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
又為正三角形，
a=2b,結(jié)合 
∴所求為……………………2分
（2）設(shè)P（x,y）M（），N（），
直線l的方程為得，
……………………4分
………………6分
又且滿足上述方程，
………………7分
（3）由（2）得，　
∴
…………………………9分
又
……………………10分
設(shè)
面積的最大值為…………………………13分
21．解：（1）由
即可求得……………………3分
（2）當(dāng)＞＞＞0,
不等式≥≥≥…（5分）
令
 
由于
……………………7分
當(dāng)
當(dāng)
當(dāng)
又，
故
于是由；………………9分
（3）由（2）知，
在上式中分別令x=再三式作和即得
所以有……………………13分
 
 

				
	

		



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