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2009年高考數(shù)學(xué)難點突破專題輔導(dǎo)二十六

難點26 垂直與平行

垂直與平行是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解線面平行與垂直、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)，并能利用它們解決一些問題.

●難點磁場

(★★★★)已知斜三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，A₁C₁=B₁C₁=2，D、D₁分別是AB、A₁B₁的中點，平面A₁ABB₁⊥平面A₁B₁C₁，異面直線AB₁和C₁B互相垂直.

(1)求證：AB₁⊥C₁D₁；

(2)求證：AB₁⊥面A₁CD；

(3)若AB₁=3，求直線AC與平面A₁CD所成的角.

●案例探究

［例1］兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE.

命題意圖：本題主要考查線面平行的判定，面面平行的判定與性質(zhì)，以及一些平面幾何的知識，屬★★★★級題目.

知識依托：解決本題的關(guān)鍵在于找出面內(nèi)的一條直線和該平面外的一條直線平行，即線₍_內(nèi)₎∥線₍_外₎線₍_外₎∥面.或轉(zhuǎn)化為證兩個平面平行.

錯解分析：證法二中要證線面平行，通過轉(zhuǎn)化證兩個平面平行，正確的找出MN所在平面是一個關(guān)鍵.

技巧與方法：證法一利用線面平行的判定來證明.證法二采用轉(zhuǎn)化思想，通過證面面平行來證線面平行.

證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB.

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，

∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°

∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四邊形MPQN為平行四邊形

∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，

∴MN∥平面BCE.

證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，

∴

連結(jié)NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴MN∥平面BCE.

［例2］在斜三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB₁C₁C⊥底面ABC.

(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC₁；

(2)過側(cè)面BB₁C₁C的對角線BC₁的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA₁，求證：截面MBC₁⊥側(cè)面BB₁C₁C；

(3)AM=MA₁是截面MBC₁⊥平面BB₁C₁C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由.

命題意圖：本題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，屬★★★★★級題目.

知識依托：線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì).

錯解分析：(3)的結(jié)論在證必要性時，輔助線要重新作出.

技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于對題目中條件的思考與分析，掌握做此類題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙作輔助線.

(1)證明：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC

∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C，∴AD⊥側(cè)面BB₁C₁C

∴AD⊥CC₁.

(2)證明：延長B₁A₁與BM交于N，連結(jié)C₁N

∵AM=MA₁，∴NA₁=A₁B₁

∵A₁B₁=A₁C₁，∴A₁C₁=A₁N=A₁B₁

∴C₁N⊥C₁B₁

∵底面NB₁C₁⊥側(cè)面BB₁C₁C，∴C₁N⊥側(cè)面BB₁C₁C

∴截面C₁NB⊥側(cè)面BB₁C₁C

∴截面MBC₁⊥側(cè)面BB₁C₁C.

(3)解：結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性.

過M作ME⊥BC₁于E，∵截面MBC₁⊥側(cè)面BB₁C₁C

∴ME⊥側(cè)面BB₁C₁C，又∵AD⊥側(cè)面BB₁C₁C.

∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面

∵AM∥側(cè)面BB₁C₁C，∴AM∥DE

∵CC₁⊥AM，∴DE∥CC₁

∵D是BC的中點，∴E是BC₁的中點

∴AM=DE=AA₁，∴AM=MA₁.

●錦囊妙計

垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：

1.平行轉(zhuǎn)化

2.垂直轉(zhuǎn)化

每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達到目的.

例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)在長方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A₁到截面AB₁D₁的距離是( )

試題詳情

A. B. C. D.

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2.(★★★★)在直二面角α―l―β中，直線aα,直線bβ,a、b與l斜交，則( )

A.a不和b垂直，但可能a∥b B.a可能和b垂直，也可能a∥b

C.a不和b垂直，a也不和b平行 D.a不和b平行，但可能a⊥b

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二、填空題

3.(★★★★★)設(shè)X、Y、Z是空間不同的直線或平面，對下面四種情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”為真命題的是_________(填序號).

①X、Y、Z是直線 ②X、Y是直線，Z是平面 ③Z是直線，X、Y是平面 ④X、Y、Z是平面

試題詳情

4.(★★★★)設(shè)a,b是異面直線，下列命題正確的是_________.

①過不在a、b上的一點P一定可以作一條直線和a、b都相交

②過不在a、b上的一點P一定可以作一個平面和a、b都垂直

③過a一定可以作一個平面與b垂直

④過a一定可以作一個平面與b平行

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三、解答題

5.(★★★★)如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點.

(1)求證：CD⊥PD;

(2)求證：EF∥平面PAD;

(3)當(dāng)平面PCD與平面ABCD成多大角時，直線EF⊥平面PCD？

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6.(★★★★)如圖，在正三棱錐A―BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H.

(1)判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

(2)設(shè)P是棱AD上的點，當(dāng)AP為何值時，平面PBC⊥平面EFGH，請給出證明.

試題詳情

7.(★★★★)如圖，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的各棱長都相等，D、E分別是CC₁和AB₁的中點，點F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3.

(1)若M為AB中點，求證：BB₁∥平面EFM；

(2)求證：EF⊥BC；

(3)求二面角A₁―B₁D―C₁的大小.

試題詳情

8.(★★★★★)如圖，已知平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面是菱形且∠C₁CB=

∠C₁CD=∠BCD=60°,

(1)證明：C₁C⊥BD；

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(2)假定CD=2，CC₁=，記面C₁BD為α,面CBD為β,求二面角α―BD―β的平面角的余弦值；

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(3)當(dāng)的值為多少時，可使A₁C⊥面C₁BD？

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難點磁場

1.(1)證明：∵A₁C₁=B₁C₁，D₁是A₁B₁的中點，∴C₁D₁⊥A₁B₁于D₁，

又∵平面A₁ABB₁⊥平面A₁B₁C₁，∴C₁D₁⊥平面A₁B₁BA，

而AB₁平面A₁ABB₁，∴AB₁⊥C₁D₁.

(2)證明：連結(jié)D₁D，∵D是AB中點，∴DD₁CC₁，∴C₁D₁∥CD，由(1)得CD⊥AB₁，又∵C₁D₁⊥平面A₁ABB₁，C₁B⊥AB₁，由三垂線定理得BD₁⊥AB₁，

又∵A₁D∥D₁B，∴AB₁⊥A₁D而CD∩A₁D=D，∴AB₁⊥平面A₁CD.

(3)解：由(2)AB₁⊥平面A₁CD于O，連結(jié)CO₁得∠ACO為直線AC與平面A₁CD所成的角，∵AB₁=3，AC=A₁C₁=2，∴AO=1，∴sinOCA=，

∴∠OCA=.

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：如圖，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，∵B₁D₁⊥A₁O₁，B₁D₁⊥AA₁，∴B₁D₁⊥平面AA₁O₁，故平面AA₁O₁⊥AB₁D₁，交線為AO₁，在面AA₁O₁內(nèi)過A₁作A₁H⊥AO₁于H，則易知A₁H長即是點A₁到平面AB₁D₁的距離，在Rt△A₁O₁A中，A₁O₁=，AO₁=3，由A₁O₁?A₁A=h?AO₁,可得A₁H=.