2009福州市高中畢業(yè)班單科質(zhì)量檢查

數(shù)學(xué)（理科）試卷

注意事項(xiàng)：

1.本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的密封線內(nèi)填寫學(xué)校、班級(jí)、學(xué)號(hào)、姓名；

2.本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差：          

        ，其中為樣本平均數(shù)；

柱體體積公式：，其中為底面面積、為高；

                                                              

錐體體積公式：，其中為底面面積，為高；

球的表面積、體積公式：，，其中為球的半徑.

第Ⅰ卷 （選擇題  共50分）

一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題所給的四個(gè)答案中有且只有一個(gè)答案是正確的）

1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（  ）．

A．第一象限     B．第二象限     C第三象限．     D．第四象限

2．集合，，則是 ( ）．

A．                                          B．

C．                                    D．

3．已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（   ）．

A．                  B．

C．            D．

4．如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的（　　）．

A．22             B．46            C．          D．190

5．函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（    ）．

A．      B．       C．    D．

6．下列有關(guān)命題的說法正確的是 (    )．

A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”．

B．“”是“”的必要不充分條件．

C．命題“使得”的否定是：“ 均有”．

D．．命題“若，則”的逆否命題為真命題．

7．將函數(shù)的圖象按向量平移，則平移后的函數(shù)圖象（    ）．

Ａ．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱          Ｂ．關(guān)于直線對(duì)稱

Ｃ．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱             Ｄ．關(guān)于直線對(duì)稱

8．袋中有40個(gè)小球，其中紅色球16個(gè)，藍(lán)色球12個(gè)，白色球8個(gè)，黃色球4個(gè)，從中隨機(jī)抽取10個(gè)球作成一個(gè)樣本，則這個(gè)樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為（　　）．

Ａ．     Ｂ．   Ｃ．        Ｄ．

9．某簡單幾何體的一條對(duì)角線長為，在該幾何體的正視圖、側(cè)視圖與俯視圖中，這條對(duì)角線的投影都是長為的線段，則（   ）．

A．              B．         C．            D．

10．若拋物線的焦點(diǎn)是,準(zhǔn)線是,則經(jīng)過點(diǎn)、（4，4）且與相切的圓共有（　�。�

A.個(gè)          B.個(gè)              C.個(gè)              D.個(gè)

第Ⅱ卷 （非選擇題 共100分）

二．填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，將答案填在題后的橫線上．）

11．已知，若，則            ．

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12． 已知，若，則               ．

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13.則               

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14．已知，，若向區(qū)域上隨機(jī)投1個(gè)點(diǎn)，求這個(gè)點(diǎn)落入?yún)^(qū)域的概率=            ．

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15．觀察以下幾個(gè)等式：⑴ ； ⑵ ；

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(3) ，歸納其特點(diǎn)可以獲得一個(gè)猜想是：                            ．

 

 

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三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程）

16. （本小題滿分13分）

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在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且，

（Ⅰ）求角B的大��；

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（Ⅱ）若最大邊的邊長為，且，求最小邊長．

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17．（本小題滿分13分）

已知某人工養(yǎng)殖觀賞魚池塘中養(yǎng)殖著大量的紅鯽魚與中國金魚．為了估計(jì)池塘中這兩種魚的數(shù)量，養(yǎng)殖人員從水庫中捕出了紅鯽魚與中國金魚各1000只，給每只魚作上不影響其存活的記號(hào)，然后放回池塘，經(jīng)過一定時(shí)間，再每次從池塘中隨機(jī)地捕出1000只魚，,分類記錄下其中有記號(hào)的魚的數(shù)目，隨即將它們放回池塘中．這樣的記錄作了10次.并將記錄獲取的數(shù)據(jù)做成以下的莖葉圖，

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（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖計(jì)算有記號(hào)的紅鯽魚與中國金魚數(shù)目的平均數(shù)，并估計(jì)池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)量;

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（Ⅱ）假設(shè)隨機(jī)地從池塘逐只有放回地捕出5只魚中的紅鯽魚的數(shù)目為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．

 

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18．（本小題滿分13分）

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已知函數(shù)有極值．

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（Ⅰ）求的取值范圍；

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（Ⅱ）若在處取得極值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．

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19．（本小題滿分13分）

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如圖所示，在三棱柱中，平面，,，，是棱的中點(diǎn)．

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（Ⅰ）證明：平面；

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（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

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20．（本小題滿分14分）

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設(shè)、是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，線段的垂直平分線與橢圓相交于、兩點(diǎn)．

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（Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線的方程；

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（Ⅱ）若以線段為直徑的圓過線段中點(diǎn),求這個(gè)圓的方程．

 

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21．（本小題滿分14分）

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如圖，已知曲線：在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，……，依次得到一系列點(diǎn)、、……、，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．

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（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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（Ⅱ）求證：三角形的面積為定值；   

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（Ⅲ）對(duì)于任意給定的常數(shù)，三角形的面積是否為定值．若是,求出這個(gè)定值;若不是,說明理由． 

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2009福州市高中畢業(yè)班單科質(zhì)量檢查

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一.選擇題   1-5   6-10   BCDCA  DAABC 

二．填空題   11. ;  12. 2 ; 13. 2236 ;   14. ;  

 15.

三、解答題

16.【解】（Ⅰ）由整理得，

即，------2分

∴，      -------5分

∵，∴。                  -------7分

（Ⅱ）∵,∴最長邊為，              --------8分

∵，∴，              --------10分

∴為最小邊，由余弦定理得，解得，

∴，即最小邊長為1                      --------13分

 

17.【解】（Ⅰ）由莖葉圖可求出10次記錄下的有記號(hào)的紅鯽魚與中國金魚數(shù)目的平均數(shù)均為20，故可認(rèn)為池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)目相同，設(shè)池塘中兩種魚的總數(shù)是，則有

，                                      ------------4分

即   ，                      

所以，可估計(jì)水庫中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)量均為25000．    ------------7分

（Ⅱ）顯然，，                                 -----------9分

其分布列為

0

1

2

3

4

5

---------11分

數(shù)學(xué)期望．                                  -----------13分

 

18.【解】（Ⅰ）∵，∴，--------2分

    要使有極值，則方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

    從而△＝，∴．                        ------------4分

（Ⅱ）∵在處取得極值，

    ∴，

∴．                                          ------------6分

∴，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．

∴時(shí)，在處取得最大值，       ------------10分

∵時(shí)，恒成立，

∴，即，

∴或，即的取值范圍是．------------13分

 

19.【解】法一：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱中,平面．

，∴平面．

∵平面，∴，而，則．---------2分

在與中，∴，--------4分

∴．∴．即．

∵，∴平面．                --------------6分

（Ⅱ）如圖，設(shè),過作的垂線，垂足為，連，平面,為二面角的平面角．        ----------------9分

在中，，，

∴，∴;

在中，，，

∴，

∴.------------11分

∴在中，，．

故銳二面角的余弦值為.

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為． ----------13分

法二：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱中平面∴．

∵，∴平面．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．---------------------2分

易求得，，，，，，．-----4分

（Ⅰ），，，

∵，，

∴，，即，．

∵，∴平面．                    ---------------------6分

（Ⅱ）設(shè)是平面的法向量，由得

取，則是平面的一個(gè)法向量．          --------------------9分

又是平面的一個(gè)法向量，          -----------------11分

．

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．----------13分

 

20．【解】（Ⅰ）法1：依題意，顯然的斜率存在,可設(shè)直線的方程為，

整理得 ． ①    ---------------------2分

    設(shè)是方程①的兩個(gè)不同的根，

    ∴，   ②                  ----------------4分

    且，由是線段的中點(diǎn)，得

    ，∴．

    解得，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）．  --------------6分

    于是，直線的方程為，即      --------------7分

    法2：設(shè)，，則有

          --------2分

    依題意，，∴．                ---------------------4分

∵是的中點(diǎn)，

∴，，從而．

又由在橢圓內(nèi)，∴，

∴的取值范圍是．                           ----------------6分

直線的方程為，即．        ----------------7分

（Ⅱ）∵垂直平分，∴直線的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得．  ③          -----------------9分

又設(shè)，的中點(diǎn)為，則是方程③的兩根，

∴．-----12分

到直線的距離，故所求的以線段的中點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的方程為：．-----------14分

 

21．【解】（Ⅰ）由求導(dǎo)得，

∴曲線：在點(diǎn)處的切線方程為，即．

此切線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．即．                -------------------2分

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為（），在曲線上，所以，

∴曲線：在點(diǎn)處的切線方程為，---4分

令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．

∴（）．                                  ---------------------6分

（Ⅱ）設(shè)、、，

∵

  --------9分==(定值)--------11分

 

（Ⅲ）設(shè)、、

則=

=

  --------13分

，

∵為常數(shù)，∴=為定值. -----------14分

 


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