設(shè)、是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，線段的垂直平分線與橢圓相交于、兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線的方程；
（Ⅱ）求以線段的中點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的方程．

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21．設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).

   （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；

（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由.

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一.選擇題   1-5   6-10   BCDCA  DAABC 

二．填空題   11. ;  12. 2 ; 13. 2236 ;   14. ;  

 15.

三、解答題

16.【解】（Ⅰ）由整理得，

即，------2分

∴，      -------5分

∵，∴。                  -------7分

（Ⅱ）∵,∴最長邊為，              --------8分

∵，∴，              --------10分

∴為最小邊，由余弦定理得，解得，

∴，即最小邊長為1                      --------13分

17.【解】（Ⅰ）由莖葉圖可求出10次記錄下的有記號的紅鯽魚與中國金魚數(shù)目的平均數(shù)均為20，故可認(rèn)為池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)目相同，設(shè)池塘中兩種魚的總數(shù)是，則有

，                                      ------------4分

即   ，                      

所以，可估計(jì)水庫中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)量均為25000．    ------------7分

（Ⅱ）顯然，，                                 -----------9分

其分布列為

0

1

2

3

4

5

---------11分

數(shù)學(xué)期望．                                  -----------13分

18.【解】（Ⅰ）∵，∴，--------2分

    要使有極值，則方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

    從而△＝，∴．                        ------------4分

（Ⅱ）∵在處取得極值，

    ∴，

∴．                                          ------------6分

∴，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．

∴時(shí)，在處取得最大值，       ------------10分

∵時(shí)，恒成立，

∴，即，

∴或，即的取值范圍是．------------13分

19.【解】法一：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱中,平面．

，∴平面．

∵平面，∴，而，則．---------2分

在與中，∴，--------4分

∴．∴．即．

∵，∴平面．                --------------6分

（Ⅱ）如圖，設(shè),過作的垂線，垂足為，連，平面,為二面角的平面角．        ----------------9分

在中，，，

∴，∴;

在中，，，

∴，

∴.------------11分

∴在中，，．

故銳二面角的余弦值為.

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為． ----------13分

法二：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱中平面∴．

∵，∴平面．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．---------------------2分

易求得，，，，，，．-----4分

（Ⅰ），，，

∵，，

∴，，即，．

∵，∴平面．                    ---------------------6分

（Ⅱ）設(shè)是平面的法向量，由得

取，則是平面的一個(gè)法向量．          --------------------9分

又是平面的一個(gè)法向量，          -----------------11分

．

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．----------13分

20．【解】（Ⅰ）法1：依題意，顯然的斜率存在,可設(shè)直線的方程為，

整理得 ． ①    ---------------------2分

    設(shè)是方程①的兩個(gè)不同的根，

    ∴，   ②                  ----------------4分

    且，由是線段的中點(diǎn)，得

    ，∴．

    解得，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）．  --------------6分

    于是，直線的方程為，即      --------------7分

    法2：設(shè)，，則有

          --------2分

    依題意，，∴．                ---------------------4分

∵是的中點(diǎn)，

∴，，從而．

又由在橢圓內(nèi)，∴，

∴的取值范圍是．                           ----------------6分

直線的方程為，即．        ----------------7分

（Ⅱ）∵垂直平分，∴直線的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得．  ③          -----------------9分

又設(shè)，的中點(diǎn)為，則是方程③的兩根，

∴．-----12分

到直線的距離，故所求的以線段的中點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的方程為：．-----------14分

21．【解】（Ⅰ）由求導(dǎo)得，

∴曲線：在點(diǎn)處的切線方程為，即．

此切線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．即．                -------------------2分

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為（），在曲線上，所以，

∴曲線：在點(diǎn)處的切線方程為，---4分

令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．

∴（）．                                  ---------------------6分

（Ⅱ）設(shè)、、，

∵

  --------9分==(定值)--------11分

（Ⅲ）設(shè)、、

則=

=

  --------13分

，

∵為常數(shù)，∴=為定值. -----------14分