雅禮中學(xué)2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（文科）試卷

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試時(shí)量120分鐘.

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．已知集合，則是的    （   ）

       A  充分而不必要條件                             B  必要而不充分條件

       C  充要條件                                           D  既不充分也不必要條件

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2．下列函數(shù)中周期為1的奇函數(shù)是                                            （   ）

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A                   B     

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C                        D 

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3．下列不等式中恒成立的個(gè)數(shù)有                                                                           （   ）

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       ①                                 ②

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       ③             ④

       A  4                        B  3                        C  2                        D  1

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4．25人排成5×5方陣，從中選出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，則不同的選出方法種數(shù)為                      （   ）

       A  600                        B  300                        C  100                        D  60

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5．已知的前n項(xiàng)和                 （   ）

A  67                 B  65                C  6l                  D  56

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6．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)（，）、（，），定義它們之間的一種“距離”：‖‖=??+??．給出下列三個(gè)命題：

①若點(diǎn)C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

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②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．

其中真命題的個(gè)數(shù)為                                                       （   ）

A  0                B  1                 C  2             D  3

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7．如圖,設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部,且有,則的面積與的面積的比為                                                              （   ）

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A  2             B              

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C  3             D   

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8． 已知點(diǎn)P 是拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是                           （   ）

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    A  5              B  4                 C              D

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        A  
        

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        B  
        

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        C  
        

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        D  
        

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        10．一個(gè)正方體，它的表面涂滿了紅色.在它的每個(gè)面上切兩刀，可得27個(gè)小立方塊，從中任取2個(gè)，其中恰有1個(gè)一面涂有紅色，1個(gè)兩面涂有紅色的概率為          
   （   ）
        

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        A．                         B．                  C．                   D．
         
        

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        二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.
        11．某校為了了解高三年級(jí)學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從全年級(jí)600名學(xué)生中抽取60名進(jìn)行體檢，如果在抽取的學(xué)生中有男生36名，則在高三年級(jí)中共有女生    名．
        

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        12．若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有    ，則      
        

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        13．通過(guò)兩個(gè)定點(diǎn) 且在軸上截得的弦長(zhǎng)等于的圓的方程是     

        

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        14．已知平面α、β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③；④α⊥β；⑤α∥β.
        （i）當(dāng)滿足條件          時(shí)，m∥β；
        （ii）當(dāng)滿足條件       時(shí)，m⊥β　 （注意：只要填條件中的序號(hào)）
        

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        15．對(duì)于函數(shù)
        

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        （i）若，則=___  __;
        

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        （ii）若有六個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍為        .
         
        

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        三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
        16．（本小題滿分12分）
        

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        已知△ABC的三邊成等比數(shù)列，且， 
        

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        （Ⅰ）求；                 

        

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        （Ⅱ）求的面積。
         
         
        

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        17．（本小題滿分12分）
        某車間在兩天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天分別生產(chǎn)出了1件、2件次品，而質(zhì)檢部每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過(guò)．
        （Ⅰ）求兩天全部通過(guò)檢查的概率；
        （Ⅱ）求恰有一天通過(guò)檢查的概率．
         
        

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        18．（本小題滿分12分）
        

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        如圖，等腰直角△中，，平面，∥，.
        

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        （Ⅰ）求二面角的大小；
        

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        （Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離；
         
        

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        19．（本小題滿分13分）
        

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        我們把數(shù)列叫做數(shù)列的k方數(shù)列（其中an>0，k，n是正整數(shù)），S（k，n）表示k方數(shù)列的前n項(xiàng)的和。
        

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        （Ⅰ）若的1方數(shù)列、2方數(shù)列都是等差數(shù)列，a1=a，求的k方數(shù)列通項(xiàng)公式。
        

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        （Ⅱ）對(duì)于常數(shù)數(shù)列an=1，具有關(guān)于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，請(qǐng)你對(duì)數(shù)列的k方數(shù)列進(jìn)行研究，寫出一個(gè)不是常數(shù)數(shù)列的k方數(shù)列關(guān)于S（k，n）的恒等式，并給出證明過(guò)程。
         
         
        

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        20．（本小題滿分13分）
        

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        如圖，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線為對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，直線與軸交于點(diǎn)，線段為橢圓的長(zhǎng)軸，已知，且．
        

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        （Ⅰ）求證：對(duì)于任意的割線，恒有；
        

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        （Ⅱ）求三角形△ABF面積的最大值．
         
         
         
         
         
         
        

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        21．（本小題滿分13分）
        

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        設(shè)定義在上的函數(shù)（）
        

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        當(dāng)時(shí)，取極大值且函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
        

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        （Ⅰ）求的表達(dá)式；
        

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        （Ⅱ）試在函數(shù)的圖象上求兩點(diǎn)使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在上；
        

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        （Ⅲ）設(shè)，求證：
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
        

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        一、選擇題：
        ADBAA    BCCDC
        二、填空題：
        11． ；        12． ；      13．
        14（i）  ③⑤     （ii）  ②⑤         15．（i）7;     （ii）.
        三、解答題： 
        16.解：（Ⅰ）
                                                                        …………5分
        由成等比數(shù)列，知不是最大邊
                                                            …………6分
        （Ⅱ）由余弦定理
        得ac=2                                                                                                        …………11分
        =                                                                          …………12分
        17．解：（Ⅰ）第一天通過(guò)檢查的概率為，      
………………………２分
        第二天通過(guò)檢查的概率為，                 
…………………………４分
        由相互獨(dú)立事件得兩天全部通過(guò)檢查的概率為．        ………………６分
        （Ⅱ）第一天通過(guò)而第二天不通過(guò)檢查的概率為，    …………８分
        第二天通過(guò)而第一天不通過(guò)檢查的概率為，     
………………10分
        由互斥事件得恰有一天通過(guò)檢查的概率為．     ……………………12分
         
        18．解：方法一
        （Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.
        在△中，，，，
        由余弦定理有
        ，
        所以二面角的大小是.                             
（6分）
        （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點(diǎn)到平面的距離即為△的邊上的高.
        故.                           
  …（12分）
         
        19．解：（Ⅰ）設(shè) 
        則   ……①
             ……②
        ∴②－①得  2d2=0，∴d=p=0 
        ∴                                           
…………6分
        （Ⅱ）當(dāng)an=n時(shí)，恒等式為[S（1，n）]2=S（3，n）
        證明：
        相減得： 
        ∴
        相減得：
        又
        又 
        ∴                                        
………………………………13分
        20．解：（Ⅰ）∵，∴，
        又∵，∴，
        ∴，
        ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                     
………（3分）
        當(dāng)的斜率為0時(shí)，顯然=0，滿足題意，
        當(dāng)的斜率不為0時(shí)，設(shè)方程為，
        代入橢圓方程整理得：．
        ，，．
        則
                 
，
        而
        ∴，從而． 
        綜合可知：對(duì)于任意的割線，恒有．               
………（8分）
        （Ⅱ），
        即：，
        當(dāng)且僅當(dāng)，即（此時(shí)適合于的條件）取到等號(hào)．
        ∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）
         
        21．解：（Ⅰ）
             ……………………………………………4分
        （Ⅱ）或者……………………………………………8分
        （Ⅲ）略                   
                    ……………………………………13分
         
         
         
        雅禮中學(xué)08屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（文科）試題參考答案
         
        一、選擇題：
        ADBAA    BCCDC
         
        二、填空題：
        11． ；        12． ；      13．
        14（i）  ③⑤     （ii）  ②⑤         15．（i）7;     （ii）.
         
        三、解答題： 
         
        16.解：（Ⅰ）
                                                                        …………5分
        由成等比數(shù)列，知不是最大邊
                                                            …………6分
        （Ⅱ）由余弦定理
        得ac=2                                                                                                        …………11分
        =                                                                          …………12分
         
        17．解：（Ⅰ）第一天通過(guò)檢查的概率為，      
………………………２分
        第二天通過(guò)檢查的概率為，                 
…………………………４分
        由相互獨(dú)立事件得兩天全部通過(guò)檢查的概率為．        ………………６分
        （Ⅱ）第一天通過(guò)而第二天不通過(guò)檢查的概率為，    …………８分
        第二天通過(guò)而第一天不通過(guò)檢查的概率為，     
………………10分
        由互斥事件得恰有一天通過(guò)檢查的概率為．     ……………………12分
         
         
         
         
         
        18．解：方法一
        （Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.
        在△中，，，，
        由余弦定理有
        ，
         
        所以二面角的大小是.                             
（6分）
        （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點(diǎn)到平面的距離即為△的邊上的高.
        故.                           
  …（12分）
         
        19．解：（Ⅰ）設(shè) 
        則   ……①
             ……②
        ∴②－①得  2d2=0，∴d=p=0 
        ∴                                           
…………6分
        （Ⅱ）當(dāng)an=n時(shí)，恒等式為[S（1，n）]2=S（3，n）
        證明：
        相減得： 
        ∴
        相減得：
        又
        又 
        ∴        
                                ………………………………13分
         
        20．解：（Ⅰ）∵，∴，
        又∵，∴，
        ∴，
        ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．            
                         ………（3分）
        當(dāng)的斜率為0時(shí)，顯然=0，滿足題意，
        當(dāng)的斜率不為0時(shí)，設(shè)方程為，
        代入橢圓方程整理得：．
        ，，．
        則
                 
，
        而
        ∴，從而． 
        綜合可知：對(duì)于任意的割線，恒有．               
………（8分）
        （Ⅱ），
        即：，
        當(dāng)且僅當(dāng)，即（此時(shí)適合于的條件）取到等號(hào)．
        ∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）
         
        21．解：（Ⅰ）
             ……………………………………………4分
        （Ⅱ）或者……………………………………………8分
        （Ⅲ）略                                       
……………………………………13分
        
				
	
        
		
        


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