2009年西安市高中三年級第三次質(zhì)量檢測試題
數(shù)學(xué)(理)
說明:①本試題分第I卷(選擇題)第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。
②本試題滿分為150分,考試時(shí)間為120分鐘。
③本題(卷)共4頁。1―2頁選擇題,3―4頁為非選擇題。
④請考生務(wù)必在答題卡上答題,考試結(jié)束后,監(jiān)考老師只收答題卡。
參考公式:
如果事件、互斥,那么
如果事件、互相獨(dú)立,那么
如果事件在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率是,那么次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生次概率。
正棱錐、圓錐的側(cè)面積公式錐側(cè)
其中表示底面周長,表示斜高或母線長
球的體積公式其中表示球的半徑
第I卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.定義集合,之間的運(yùn)算為:,若,則集合中的元素個(gè)數(shù)是
A.4
B.
2.已知復(fù)數(shù)則=
A. B. C. D.
3.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,則的值為
A. B. C. D.
4.若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為,則
A.
B.
5.一炮彈在某處爆炸,在處聽到爆炸聲的時(shí)間比在處晚,現(xiàn)測得、兩地相距
A. B.
C. D.
6.將函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?sub>倍,得函數(shù) 的圖象,再將函數(shù)的圖象按照向量平移,即得函數(shù)=的圖象,再將函數(shù)的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,即得函數(shù)+1的圖象,則向量的坐標(biāo)可以為
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)的反函數(shù)是,則函數(shù)的圖象是
A B C D
8.已知,則向量在向量上的投影為
A. B. C. D.
9.若在點(diǎn)處的切線方程為
A. B.
C. D.
10.頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱中,,則兩點(diǎn)間的球面距離為
A. B. C. D.
11.已知函數(shù),且則等于
A.0
B.
12.對于集合,稱為開集,當(dāng)且僅當(dāng)任意,存在正數(shù),使得,已知集合,,則
A.是開集,不是開集 B.不是開集,是開集
C.和都是開集 D.和都不是開集
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題:本大題有4個(gè)小題,每小題4分,共16分;把答案填在答題卡橫線上。
13._______________。
14.若實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最大值為__________。
15.某班級要從6名男生、4名女生中選派6人參加某次社區(qū)服務(wù),要求女生甲、乙要么都參加、要么都不參加,同時(shí)要求至少有一名女生參加,那么不同的選派方案種數(shù)為_________(用數(shù)字作答)
16.、是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:①;②③④;⑤。其中能腿出“、中至少有一個(gè)數(shù)大于
三、解答題:本大題共6個(gè)小題,滿分74分,解答時(shí)要求寫出必要的文字說明或推演步驟,
17.(本小題滿分12分)
在中,已知內(nèi)角,邊,設(shè)內(nèi)角的面積為
(I)求函數(shù)=的解析式和定義域;
(Ⅱ)求的最大值。
18.(本題滿分12分)
一對外國夫婦攜帶有白化病遺傳基因,已知他們生出的小孩患有白化病的概率為,不患此病的概率為他們生的孩子是男孩或女孩的概率均為,現(xiàn)在已知該夫婦有三個(gè)孩子。
(I)求三個(gè)孩子是同新別的且都患病的概率(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示);
(Ⅱ)設(shè)三個(gè)孩子中,患病男孩的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列以及期望(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)
19.(本題滿分12分)
如圖,正三棱柱中,是的中點(diǎn),
(I)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值。
]
20.(本題滿分12分)
已知函數(shù)在上是增函數(shù)
(I)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)其中,求函數(shù)的最小值。
21.(本題滿分12分)
設(shè)直線與橢圓相切。
(I)試將用表示出來;
(Ⅱ)若經(jīng)過動點(diǎn)可以向橢圓引兩條互相垂直的切線,為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值。
22.(本題滿分14分)
已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為,
(I)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(Ⅱ)若,求證:對任意的正整數(shù),不等式恒成立。
2009年西安市高三年級第三次質(zhì)量檢測試題
數(shù)學(xué)(理)
第I卷(共60分)
一、選擇題(每小題5分,共60分)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
C
A
A
A
A
D
B
A
A
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(每小題4分,共16分)
13. 14.3 15.97 16.③
三、解答題(共74分)
17.(本小題滿分12分)
(I)的內(nèi)角和。
,
(Ⅱ)
當(dāng)即時(shí),取最大值
18.(本題滿分12分)
記A:該夫婦生一個(gè)小孩是患病男孩,B:該夫婦生一個(gè)小孩是患病女孩:C:該夫婦生一個(gè)小孩是不患病男孩;D:該夫婦生一個(gè)小孩是不患病女孩,則
(I)
(Ⅱ)顯然,的取值為0,1,2,3
所以的分布列為
0
1
2
3
顯然,,故
19.(本題滿分12分)
解法一:(I)證明:連接,設(shè),連接DE
三棱柱是正三棱柱,且,
四邊形是正方形,
∴E是的中點(diǎn),又是的中點(diǎn),
∴
∵平面平面,
∴平面
(Ⅱ)解:在平面內(nèi)作于點(diǎn),在面;內(nèi)作于連接。
∵平面平面,∴平面,
∵是在平面上的射影,
∴是二面角的平面角
設(shè)在正中,
在中,在中,
從而
所以,二面角的平面角的余弦值為
解法二:建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
(I)證明:連接設(shè),連接,設(shè)
則
平面平面平面
(Ⅱ)解:∵
設(shè)是平面的法向量,則,且
故,取,得;
同理,可求得平面的法向量是
設(shè)二面角的大小為,則
所以,二面角的平面角的余弦值為
20.(本題滿分12分)
(I)
在上是增函數(shù),
在上恒成立,即恒成立。
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立),
所以
(Ⅱ)設(shè),則
(1)當(dāng)時(shí),最小值為;
(2)當(dāng)時(shí),最小值為
21.(本題滿分12分)
(I)將代入得,整理得
由得,故
(Ⅱ)當(dāng)兩條切線的斜率都存在而且不等于時(shí),設(shè)其中一條的斜率為k,
則另外一條的斜率為
于是由上述結(jié)論可知橢圓斜率為k的切線方程為
①
又橢圓斜率為的切線方程為
②
由①得
由②得
兩式相加得
于是,所求P點(diǎn)坐標(biāo)滿足因此,
當(dāng)一條切線的斜率不存在時(shí),另一條切線的斜率必為0,此時(shí)顯然也有
所以為定值。
22.(本題滿分14分)
(I)由知
當(dāng)時(shí),,化簡得
①
以代替得
②
兩式相減得
則,其中
所以,數(shù)列為等差數(shù)列
(Ⅱ)由,結(jié)合(I)的結(jié)論知
于是不等式
因此,欲證原不等式成立,只需證即
令,則在上恒正,
在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),恒有
其他解法參照以上評分標(biāo)準(zhǔn)評分
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