鎮(zhèn)海中學(xué)2008學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三年級
數(shù)學(xué)(理科)試卷
一、選擇題:(本大題共10小題,每小題5分,共50分.)
1.下列函數(shù),在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
2. 在銳角△ABC中,若lg (1+sinA) = m , 且lg= n,則lgcosA等于( )
(A)(m-n) (B)m-n (C)( m+) (D)m+
3.在等差數(shù)列中,,則 ( )
(A)24 (B)22 (C)20 (D)
4.過點(diǎn)A(11,2)作圓的弦,其中弦長為整數(shù)的共有( )
(A)16條 (B) 17條 (C) 32條 (D) 34條
5.已知向量與關(guān)于x軸對稱,j =(0,1),則滿足不等式的點(diǎn)Z(x,y)的集合用陰影表示為下圖中的( )
(A) (B) (C) ( D)
6.設(shè),若對于任意的,都有滿足方程,這時(shí)的取值集合為( )
(A) (B)。–) (D)
7.若直線通過點(diǎn),則( )
(A) (B) (C) (D)
8. 設(shè),在上的投影為,在軸上的投影為2,且,則為( )
(A) (B) (C) (D)
9.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,所得圖象關(guān)于直線對稱,則的最小正值為 ( )
(A) (B) (C) (D)
10.已知為關(guān)于x的一次函數(shù),b為不等于0的常數(shù),且滿足
, 設(shè)則數(shù)列為( )
(A)等差數(shù)列 (B)等比數(shù)列 (C)遞增數(shù)列 (D)遞減數(shù)列
二、填空題:(本大題共7小題;每小題4分,共28分.)
11.曲線在在x=1處的切線的傾斜角為 .
12. 是定義在R上的奇函數(shù),若x≥0時(shí),,則______.
13.設(shè)集合,且都是集合的子集,如果把叫做集合的“長度”,那么集合的長度的最小值是 。
14.函數(shù)的圖象中相鄰兩條對稱軸的距離是 .
15.若直線的圓心,則的最小值是 。
16.橢圓(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C、D,若四邊形ABCD的內(nèi)切圓恰好過橢圓的焦點(diǎn),則橢圓的離心率e = .
17.已知函數(shù),數(shù)列滿足,且是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
鎮(zhèn)海中學(xué)2008學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三年級
數(shù)學(xué)(理科)答題紙
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空題(每小題4分,共28分)
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17.
三、解答題:本大題共5小題;共72分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
18. (本小題14分)已知平面內(nèi)三點(diǎn)A(3,0),B(0,3),C(,O為坐標(biāo)原點(diǎn)。
(1) 若,求的值。
(2) 若的夾角。
19.(本小題14分)已知:二次函數(shù)同時(shí)滿足條件:①②③對任意實(shí)數(shù)恒成立.
(1)求的表達(dá)式;
(2)數(shù)列,若對任意n均存在一個(gè)函數(shù),使得對任意的非零實(shí)數(shù)x都滿足,求:數(shù)列的通項(xiàng)公式。
20. (本小題滿分14分)已知正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且=1,數(shù)列滿足,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)與的前項(xiàng)和.
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.
21.(本小題滿分15分)如圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).
(1)若,且求橢圓的離心率;
(2)若求的最大值和最小值.
22.(本小題滿分15分)已知函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,
(1)求實(shí)數(shù)的值
(2)若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
鎮(zhèn)海中學(xué)2008學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三年級
數(shù)學(xué)(理科)答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
C
D
B
D
B
B
B
二、填空題(每小題4分,共28分)
11. 135° 12. -1
13. 14.
15. 16 16.
17. 2<a<3
三、解答題:本大題共5小題;共72分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
18. (本小題14分)已知平面內(nèi)三點(diǎn)A(3,0),B(0,3),C(,O為坐標(biāo)原點(diǎn)。
(1) 若,求的值。
(2) 若的夾角。
【解】:(1)
…………………3分
得
……………………5分
…………………………7分
(2)。
……………………9分
…………………11分
, 則
即為所求!14分
19.(本小題14分)已知:二次函數(shù)同時(shí)滿足條件:①
②③對任意實(shí)數(shù)恒成立.
(1)求:的表達(dá)式;
(2)數(shù)列,若對任意n均存在一個(gè)函數(shù),使得對任意的非零實(shí)數(shù)x都滿足,求:數(shù)列的通項(xiàng)公式。
【解】:(1)由條件得………………4分
由恒成立
………………6分
………………8分
(2)
又因?yàn)?sub>恒成立
令……………10分
………………12分
………………14分
20. (本小題滿分14分)已知正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且=1,數(shù)列滿足,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)與的前項(xiàng)和.
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.
【解】:(Ⅰ)易得. …………1分
當(dāng)時(shí),,…① …②
①-②,得.
∴(). ∴數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
∴. …………………………3分
從而,…………………………………5分
其前項(xiàng)和 …………………………………7分
(Ⅱ)∵為等比數(shù)列、為等差數(shù)列,,
∴…③
…④
③-④,得
∴ …………………………11分
易知,當(dāng)時(shí),.
∴當(dāng)時(shí),數(shù)列是遞減數(shù)列.…………………………13分
∴.故. …………………………14分
21.如圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).
(1)若,且求橢圓的離心率;
(2)若求的最大值和最小值.
【解】:(1),
,…………………………3分
,
…………………………………6分
(2),.
①若垂直于軸,則,
……………………8分
②若AB與軸不垂直,設(shè)直線的斜率為,
則直線的方程為
由
得
,方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.
設(shè),.
, ………………………………9分
……………………………………11分
∴…………………………………13分
綜合①、②得.所以當(dāng)直線垂直于時(shí),取得最大值;當(dāng)直線與軸重合時(shí),取得最小值…………………………14分
22.(本小題滿分15分)已知函數(shù)在區(qū)間[-1,1] 上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,
(1)求實(shí)數(shù)的值
(2)若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解】: (1)由函數(shù)在區(qū)間[-1,1] 上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,
取得極小值∴………………………………………………2分
∵
∴…………………………………………………4分
(2)由(1)知,
∴=,……………………………5分
令得,,
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,2)
2
(2,+ ∞)
+
0
-
0
+
0
-
增
減
增
減
………………………………………………………………………………………………7分
所以函數(shù)有極大值,,極小值
作出的示意圖如圖
因關(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解,令
即關(guān)于t的方程在上有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解,即的圖象與直線在上有三個(gè)不同的交點(diǎn).而的圖象與的圖象一致.又由圖可知……………………………10分
(3) 函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn),有兩種:
1°當(dāng)函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)時(shí),則必須有
而
函數(shù)的值域?yàn)?sub>
∴解得……………………12分
2°當(dāng)函數(shù)的圖象與y軸無交點(diǎn)時(shí),則必須有,
即,而,有意義,
所以,即解得……………………13分
3°由函數(shù)存在,從而有解,解得
故實(shí)數(shù)的取值范圍為………………………`15分
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