金華一中2008學(xué)年第一學(xué)期期中考試
高三數(shù)學(xué)試題(理科)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分,每小題給出四個選項(xiàng),只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1. 命題:“若,則”的逆否命題是 ( )
A.若,則 B.若,則
C.若,則 D.若,則
2. 已知圓及直線當(dāng)直線被C截得的弦長為時,則= ( )
A. B. C. D.
3. 如果為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列,公差≠0,則 ( )
A. > B. < C. D. =
4. 不等式 的解集不可能是 ( )
A. B. C. D.
5.“=
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
6. 函數(shù)的最小正周期 ( )
A. 2π B. π C. D.
7. 函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是 ( )
A. B. C. D.
8. 方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 ,則的整數(shù)值的個數(shù)為 ( )
A. 1 B. C. D.
9. 已知是橢圓的兩個焦點(diǎn).滿足?=0的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍 ( )
A.(0,1) B.(0,] C.(0,) D.[,1)
10. 已知實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個實(shí)根為、,并且,則的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共7小題,每小題4分,共28分)
11. 若集合, 則 ;
12. 向量,則最大值為 ;
13. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位,所得圖象關(guān)于y軸對稱,則的最小正值是 ;
14. 若奇函數(shù)關(guān)于對稱,則最小正周期為 ;
15. 與雙曲線有公共漸近線,且過點(diǎn)M(2,-2)的雙曲線的方程 ;
16. 數(shù)列滿足:, 則 ;
17.已知函數(shù)f(x)=,有三個數(shù)a,b,c滿足|a|<1,|b|<1,|c|<1,且=2007,=2008,那么的值是 .
金華一中2008學(xué)年第一學(xué)期期中考試
高三數(shù)學(xué)答題卷(理科)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二.填空題
11. 12. 13.
14. 15. 16.
17.
三、解答題(本大題共5小題,共72分)
18.(本小題滿分14分)已知銳角△中,角的對邊分別為,且= (1)求; (2)求.
19.(本小題滿分14分)已知圓C的方程和點(diǎn),過動點(diǎn)作圓的切線PB(B為切點(diǎn))且,(1)求動點(diǎn)P軌跡L的方程; (2)若動點(diǎn)Q,D分別在軌跡L和圓C上運(yùn)動,且三角形APQ面積,求三角形DPQ面積的最小值.
20.(本小題滿分14分)已知函數(shù)(是自然數(shù))是奇函數(shù),有最大值,且.(1)試求函數(shù)的解析式;(2)是否存在直線與的圖象只交于P、Q兩點(diǎn),并且使得P、Q兩點(diǎn)的中點(diǎn)為(1,0)點(diǎn),若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
21.(本小題滿分15分)數(shù)列
(1)是否存在非零常數(shù),使數(shù)列成等比數(shù)列,并證明;(2)求數(shù)列的通項(xiàng);(3)求證:.
22.(本小題滿分15分)
平面上一點(diǎn)向二次曲線作切線得兩切點(diǎn),連結(jié)兩切點(diǎn)的線段我們稱切點(diǎn)弦.設(shè)過拋物線外一點(diǎn)的任一直線與拋物線的兩個交點(diǎn)為C、D,與拋物線切點(diǎn)弦AB的交點(diǎn)為Q。
(1)求證:拋物線切點(diǎn)弦的方程為;
(2)求證:.
金華一中2008學(xué)年第一學(xué)期期中考試
高三數(shù)學(xué)答案(理科)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
D
A
B
A
B
C
C
二.填空題
11.;
12. 0.5;
13.; 14.
15.; 16.; 17.;
三.解答題.
18:(1) 7分
(2) 7分
19: (1) 。1)
。2)
(1)-(2)得 7分
(2) 點(diǎn) , 圓心C(3,4)到直線的距離分別是
7分
20.解:⑴由為奇函數(shù)易知:.
又因?yàn)?sub>是自然數(shù),所以,當(dāng)時,;當(dāng)時,.
所以,的最大值必在時取得.
當(dāng)時,,等號當(dāng)且僅當(dāng)時取得.
所以,.
又,所以,.結(jié)合是自然數(shù),可得:.
所以,. 7分
⑵對于“是否存在型”的問題,一般探索的方法為:假設(shè)存在,導(dǎo)出矛盾,或者從部分結(jié)論出發(fā),導(dǎo)出其存在的必要條件,再驗(yàn)證是否充分.
根據(jù)上述思路,我們可以假設(shè)存在滿足條件的直線,則、Q的坐標(biāo)可為P,.且這兩點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上.即:
消去,得,解得:.
所以,或.
所以,直線的方程為:.
的存在性還須通過充分性的檢驗(yàn).
把直線的方程與函數(shù)聯(lián)立,不難求得,共有三組解:
.
因此,直線與的圖象共有三個交點(diǎn),與“只交于兩點(diǎn)”矛盾.所以,滿足條件的直線不存在. 7分
在得到這樣的解答之后,我們不妨回頭再看一看,在上述過程中,函數(shù)的性質(zhì)(如奇偶性)并沒有得到充分的應(yīng)用.若能充分運(yùn)用這個已知條件,則可以得到其他不同的探索過程.
法2:設(shè),則由為奇函數(shù)可知:P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在的圖像上,又,所以,,且,故問題等價于:
是否存在直線,使得與有兩個距離為2的交點(diǎn).
將代入,解之得:,令,解得:,,
所以,,此時直線的方程為
充分性的檢驗(yàn)過程同上.
以上兩種解法都是從求出直線的方程入手.如果我們將著眼點(diǎn)放在“只交于兩點(diǎn)”,則可以得到下面簡潔的解法.
法3:當(dāng)直線的斜率不存在時,,此時與函數(shù)的圖像只交于一點(diǎn),不滿足題設(shè),所以,可設(shè)直線的方程為:,
與聯(lián)立,消去得:
(*)
由P、Q關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,可得:點(diǎn)(1,0)在直線上,所以,.
對于上述方程(*),若,則方程只有一解,不符合題意.
若,則方程(*)的實(shí)根個數(shù)可能為1個或3個.不可能有兩個.即過點(diǎn)(1,0)的直線與的圖象不可能只有兩個交點(diǎn),所以,這樣的直線不存在.
21.(1) 解得5分
(2)
5分
. (3) 由于
5分
22.證:(1)略 7分
(2)為簡化運(yùn)算,設(shè)拋物線方程為,點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,點(diǎn),直線,
一方面。要證
化斜為直后
只須證:
由于
另一方面,由于所以切點(diǎn)弦方程為:
所以
從而
即 8分
22.(1)(2).
(3) 由于
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