題目列表(包括答案和解析)
設(shè)函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax+,函數(shù)f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)也在函數(shù)g(x)的圖像上,且在此點(diǎn)處f(x)與g(x)有公切線.[來(lái)源:學(xué)?。網(wǎng)]
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)設(shè)x>0,試比較f(x)與g(x)的大小.[來(lái)源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]
【解析】第一問(wèn)解:因?yàn)?i>f(x)=lnx,g(x)=ax+
則其導(dǎo)數(shù)為
由題意得,
第二問(wèn),由(I)可知,令。
∵, …………8分
∴是(0,+∞)上的減函數(shù),而F(1)=0, …………9分
∴當(dāng)時(shí),,有;當(dāng)時(shí),,有;當(dāng)x=1時(shí),,有
解:因?yàn)?i>f(x)=lnx,g(x)=ax+
則其導(dǎo)數(shù)為
由題意得,
(11)由(I)可知,令。
∵, …………8分
∴是(0,+∞)上的減函數(shù),而F(1)=0, …………9分
∴當(dāng)時(shí),,有;當(dāng)時(shí),,有;當(dāng)x=1時(shí),,有
已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(I)求橢圓的方程;
(II)若過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)< 時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
第一問(wèn)中,利用
第二問(wèn)中,利用直線與橢圓聯(lián)系,可知得到一元二次方程中,可得k的范圍,然后利用向量的<不等式,表示得到t的范圍。
解:(1)由題意知
若函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間,滿足在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141332182286905_ST.files/image002.png">,則稱這樣的函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”.
(Ⅰ)判斷函數(shù)是否為“優(yōu)美函數(shù)”?若是,求出;若不是,說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問(wèn)中,利用定義,判定由題意得,由,所以
第二問(wèn)中, 由題意得方程有兩實(shí)根
設(shè)所以關(guān)于m的方程在有兩實(shí)根,
即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn),從而得到t的范圍。
解(I)由題意得,由,所以 (6分)
(II)由題意得方程有兩實(shí)根
設(shè)所以關(guān)于m的方程在有兩實(shí)根,
即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)。
已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓C;其長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)(0,1), 問(wèn)是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且?若存在,求出的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
第一問(wèn)中,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
則由長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
第二問(wèn)中,
假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為
因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得
代入1,2式中得到范圍。
(Ⅰ) 可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
則由長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(Ⅱ) 假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為
因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
則.
代入①式得,解得………………………………………12分
代入②式得,得.
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是
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