題目列表(包括答案和解析)
設(shè)雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為、,離心率為2.
(1)求雙曲線的漸近線方程;
(2)過點(diǎn)能否作出直線,使與雙曲線交于、兩點(diǎn),且,若存在,求出直線方程,若不存在,說明理由.
【解析】(1)根據(jù)離心率先求出a2的值,然后令雙曲線等于右側(cè)的1為0,解此方程可得雙曲線的漸近線方程.
(2)設(shè)直線l的方程為,然后直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理表示此條件,得到關(guān)于k的方程,解出k的值,然后驗(yàn)證判別式是否大于零即可.
已知過點(diǎn)的動直線與拋物線相交于兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率是時(shí),.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)線段的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.
【解析】(1)B,C,當(dāng)直線的斜率是時(shí),
的方程為,即 (1’)
聯(lián)立 得, (3’)
由已知 , (4’)
由韋達(dá)定理可得G方程為 (5’)
(2)設(shè):,BC中點(diǎn)坐標(biāo)為 (6’)
得 由得 (8’)
BC中垂線為 (10’)
(11’)
過拋物線的對稱軸上的定點(diǎn),作直線與拋物線相交于兩點(diǎn).
(I)試證明兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值;
(II)若點(diǎn)是定直線上的任一點(diǎn),試探索三條直線的斜率之間的關(guān)系,并給出證明.
【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
(1)中證明:設(shè)下證之:設(shè)直線AB的方程為: x=ty+m與y2=2px聯(lián)立得消去x得y2=2pty-2pm=0,由韋達(dá)定理得
(2)中:因?yàn)槿龡l直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列,下證之
設(shè)點(diǎn)N(-m,n),則直線AN的斜率KAN=,直線BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
設(shè)橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由。
【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解,待定系數(shù)法求解,并且考查了圓與橢圓的位置關(guān)系的研究,利用恒有交點(diǎn),聯(lián)立方程組和韋達(dá)定理一起表示向量OA,OB,并證明垂直。
設(shè)橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由。
【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解,待定系數(shù)法求解,并且考查了圓與橢圓的位置關(guān)系的研究,利用恒有交點(diǎn),聯(lián)立方程組和韋達(dá)定理一起表示向量OA,OB,并證明垂直。
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